Capitolo 2

Questo è la rielaborazione del file Appunticap2.pdf

Successioni di numeri reali

Successioni

Definizione

Una successione di numeri reali è una funzione reale definita in $N$ (definizione di N) di questo tipo: $f:N\to R$.

TIP

In parole semplici: per ogni numero naturale $n$, la funzione ti dà un numero reale $a_n$​, che è il termine della successione in posizione $n$.

Se $n\in N$ si usa la notazione $a_n=f(n)$, in questo modo la successione viene identificata con l’insieme dei suoi elementi: $a_n$ , l’elemento generico $a_n$ viene detto elemento di posto $n$. Verifica definitivamente: Si dice che la successione verifica definitivamente (nel seguito semplicemente D) una condizione $P$ se esiste una $\alpha \in N$ tale che per ogni $n>\alpha$ l’elemento $a_n$ verifica $P$.

TIP

Verifica definitivamente vuol dire che dopo un certo punto(ovvero un certo $n$), tutti i termini della successione rispettano una certa proprietà.

EXAMPLE

La successione: $a_n=n-4$ ovvero l’insieme: $\{-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$ come possiamo bene notare la successione dopo $n=5$ è sempre positiva e quindi possiamo affermare che la successione è definitivamente positiva

Se due condizioni sono verificate definitivamente ad esempio una per $n>\alpha$ e una per $n>\beta$ allora per $n>max(\alpha ,\beta )$ valgono entrambe.

Successione limitata

Una successione è detta limitata se lo è l’insieme dei suoi termini ovvero se esistono $h,k\in R$ tali che $h\le a_n\le k$ per ogni $n\in N$ si ha quindi che $\{a_n\}\subseteq [h,k]$, i concetti di minimo, massimo, estremo inferiore o superiore coincidono con quelli relativi all’insieme dei suoi termini.

EXAMPLE

La successione: $a_n=n-1$ ovvero l’insieme: $\{0,1,2,3,\dots \}$ che ha come minimo 0

Proposizione: Una successione $D$ limitata è limitata. Dimostrazione: Se si ha $h\le a_n\le k$ per ogni $n>\alpha$ ponendo:

• $h^{\prime }=min\{h,a_1,\dots ,a_{\alpha }\}$
• $k^{\prime }=max\{k,a_1,\dots ,a_{\alpha }\}$ si ha $h^{\prime }\le a_n\le k^{\prime }$ per ogni $n\in N$

Successioni regolari

Limite di una successione (converge)

Sia $l$ un numero reale. Si dice che la successione $\{a_n\}$ converge o tende ad $l$ o che $l$ è il limite della successione (che si denota con $a_n\to l$ o $\lim a_n=l$) se è verificata la seguente condizione: $\forall ϵ>0\exists \alpha \in N:n>\alpha \Rightarrow |a_n-l|<ϵ$ovvero se dato un qualunque intorno di $l$, definitivamente i termini delle successione ($a_n$) appartengono a tale intorno, questo si traduce in termini matematici in questa cosa:

1. $|a_n-l|<ϵ⟺$
2. $-ϵ<a_n-l<ϵ⟺$
3. $l-ϵ<a_n<l+ϵ$ Se questa condizione è vera, significa che la successione “si stabilizza” attorno al valore $l$. E quindi che man mano che $n$ diventa grande, i termini $a_n$​ rimangono vicini ad $l$ quanto vogliamo (scegliendo un $\epsilon$ sufficientemente piccolo).

Warning

Con $\lim a_n=l$ intendiamo ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=l$ ovvero quando il valore di $n$ va verso infinito il valore della del nostro generico $a_n$ si avvicina ad $l$ viene approfondito dopo i teoremi

Quote

Salvo Romeo

Se $l=0$ la successione è detta infinitesima o semplicemente un infinitesimo

EXAMPLE

La successione: $a_n=k$ tende a $k$ La successione $\frac{1}{n}$ tende a 0

Teoremi

Teorema dell’unicità del limite: se una successione converge, il suo limite è unico Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che esistano 2 limiti: $a_n\to l$ e $a_n\to L$ con $l<L$. Scelto un $ϵ$ tale che $0<ϵ<\frac{L-l}{2}$, allora abbiamo la seguente disequazione: $a_n<l+ϵ<L-ϵ<a_n$ come possiamo notare abbiamo $a_n<a_n$ che è un assurdità.

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Teorema della permanenza del segno: Se $a_n\to l>0$ (o $l<0$) allora si ha definitivamente $a_n>0$ (o $a_n<0$) Teorema non in matematichese: questa cosa significa che se $l>0$ (o $l<0$) allora prima o poi nella successione anche $a_n$ sarà $>0$ (o $<0$) Dimostrazione: Supponiamo $l>0$. Scelto $ϵ$ tale che $0<ϵ<l$ allora definitivamente si ha $a_n>l-ϵ>0$ (il caso $l<0$ si prova in modo simile) Generalizzando possiamo dire che:

• preso un numero $h$ e $a_n\to l$ con $h<l$ allora definitivamente si ha che $a_n>h$
• preso un numero $k$ e $a_n\to l$ con $k>l$ allora definitivamente si ha che $a_n<k$

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Teorema di confronto per successioni convergenti: Se $a_n<b_n<c_n$ per ogni $n\in N$ e $a_n\to l$, $c_n\to l$ allora $b_n\to l$ Teorema non in matematichese: se le successioni $a_n$ e $c_n$ tendono ad $l$ e sappiamo che un terza successione $b_n$ è compresa tra $a_n$ e $c_n$ per ogni $n\in N$ allora anche queste tende a $l$ Dimostrazione: per la definizione di limite sappiamo che definitivamente si ha:

• $l-ϵ<a_n<l+ϵ$
• $l-ϵ<c_n<l+ϵ$ allora si ha sicuramente che: $l-ϵ<a_n<b_n<c_n<l+ϵ$

Limiti di una successione (diverge)

Si dice che la successione $\{a_n\}$ diverge o tende a $+\infty$ (o $-\infty$) e si denota con $a_n\to +\infty$ o $\lim a_n=+\infty$(o $-\infty$) se e solo se è verificata la seguente condizione: $\forall k>0\exists \alpha \in N:n>\alpha \Rightarrow a_n>k$ vale ovviamente anche: $\forall k>0\exists \alpha \in N:n>\alpha \Rightarrow a_n<k$ovvero $a_n\to +\infty \backslash \infty$ se e solo se definitivamente preso un qualsiasi numero trovo all’interno della successione un numero maggiore\minore. Anche per la divergenza vale l’unicità del limite, per quanto riguarda il teorema delle permanenza del segno possiamo dire che i termini di una successione divergente sono positivi/negativi.

TIP

Una successione di numeri positivi può tendere:

• ad un limite positivo
• a zero
  • $a_n=\frac{1}{n}$
• a $\infty$

Una successione di numeri negativi può tendere:

• ad un limite negativo
• a zero
  • $a_n=-\frac{1}{n}$
• a $-\infty$

Altri teoremi

Teorema di confronto per successioni divergenti: Se $a_n\le b_n$ per ogni $n\in N$ e $a_n\to +\infty$ allora $b_n\to +\infty$ oppure se $b_n\to -\infty$ allora $a_n\to -\infty$ Teorema non in matematichese: se la successione $a_n$ è sempre più piccola di $b_n$ allora se $a_n\to +\infty$ anche $b_n\to \infty$ (anche l’altro caso funziona allo stesso modo) Dimostrazione: Se $a_n\to +\infty$ allora definitivamente si ha $a_n>k$ ne segue che $b_n\ge a_n>k$ (l’altro caso si prova in modo analogo)

Successione regolare o oscillante

Una successione è detta regolare se converge o diverge, per una successione regolare il limite è unico, quando una successione non è regolare allora è detta oscillante

EXAMPLE

Per capire bene questo esempio bisogna ricordarsi la definizione di limite

Successioni e valore assoluto

Accanto alla successione $\{a_n\}$ consideriamo la successione $\{|a_n|\}$ allora possiamo affermare le seguenti cose:

1. Se $a_n\to l$ allora $|a_n|\to l$ il viceversa non vale infatti posto $a_n=(-1{)}^n$ la successione dei valori assoluti è constante e converge ad $l$ (in questo caso $l=1$) ma $\{a_n\}$ oscilla
2. Se $a_n\to +\infty$ oppure $a_n\to -\infty$ si ha $|a_n|\to +\infty$ il viceversa non vale infatti posto $a_n=(-1{)}^{n}n$ la successione dei valori assoluti vale $n$ e quindi diverge invece $\{a_n\}$ oscilla. Se $|a_n|\to +\infty$ allora la successione $\{a_n\}$ è detta infinitamente grande

Regolarità e limitatezza

Si hanno le seguenti affermazioni:

• Una successione convergente è limitata, infatti essa è D compresa ad esempio tra $l-1$ e $l+1$ quindi è D limitata, non vale il viceversa infatti $\{(-1{)}^n\}$ è limitata ma oscillante
• Una successione che diverge a $+\infty$ è limitata inferiormente
• Una successione che diverge a $-\infty$ è limitata superiormente

Successioni monotone

Si dice che la successione $\{a_n\}$ è monotona se verifica una delle seguenti condizioni:

1. $a_n>a_{n+1}$ successione strettamente decrescente
   • Se $a_n$ è maggiore di $a_{n+1}$ allora la funzione sta decrescendo
2. $a_n\ge a_{n+1}$ successione decrescente
   • Se $a_n$ è maggiore o uguale di $a_{n+1}$ allora la funzione sta decrescendo
3. $a_n<a_{n+1}$ successione strettamente crescente
   • Se $a_n$ è minore di $a_{n+1}$ allora la funzione sta crescendo
4. $a_n\le a_{n+1}$ successione crescente
   • Se $a_n$ è minore o uguale di $a_{n+1}$ allora la funzione sta crescendo

Altri teoremi

Teorema di regolarità (o sul limite) delle successioni monotone:

• Una successione che verifica una delle condizioni $1)$ e $2)$ tende al suo estremo inferiore
• Una successione che verifica una delle condizioni $3)$ e $4)$ tende al proprio estremo superiore Dimostrazione Proviamo per semplicità solo il caso della divergenza:

1. Se $\inf a_n=-\infty$ fissato $k>0$ il numero $-k$ non è un minorante per la successione perché esiste sicuramente un numero nella successione più piccolo di $k$ ovvero $a_{\alpha }<-k$. Per $n>\alpha$ si ha $a_n\ge a_{\alpha }>k$ che è la tesi
2. Se $\sup a_n=+\infty$ fissato $k>0$ il numero $k$ non è un maggiorante per la successione perché esiste sicuramente un numero nella successione più grande di $k$ ovvero $a_{\alpha }>k$. Per $n>\alpha$ si ha $a_n>a_{\alpha }>k$ che è la tesi

Operazioni con i limiti delle successioni

1. Successione con uno scalare

Sia $\{a_n\}$ una successione regolare e sia $c$ un numero reale. Prendiamo in considerazione la successione $\{c{a}_n\}$ allora si ha: 1. se $a_n\to l$ allora $c{a}_n\to cl$ 2. se $a_n\to +\infty$ e $c>0$ allora $c{a}_n\to +\infty$ 3. se $a_n\to +\infty$ e $c<0$ allora $c{a}_n\to -\infty$ 4. se $a_n\to -\infty$ e $c>0$ allora $c{a}_n\to -\infty$ 5. se $a_n\to -\infty$ e $c<0$ allora $c{a}_n\to +\infty$ Dimostrazione: - 1) se $c=0$, la tesi è ovvia, se $c\ne 0$ per ottenere $|c{a}_n-cl|<ϵ$ basta osservare che D si ha $|a_n-l|<\frac{ϵ}{|c|}$ - 2) Per ottenere $c{a}_n>k$ basta osservare che D si ha $a_n>\frac{k}{c}$ - 3) Per ottenere $c{a}_n<k$ basta osservare che D si ha $|a_n-l|<\frac{-k}{c}$ - 4) e 5) si provano in modo simile

2. Successione somma

Date due successioni $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ prendiamo in considerazione la successione somma $\{a_n+b_n\}$ allora si ha che: 1. Se $a_n\to l$ e $b_n\to L$ allora $a_n+b_n\to l+L$ 2. Se $a_n\to +\infty$ ed esiste un numero $h\le b_n$ per ogni $n\in N$ allora $a_n+b_n\to +\infty$ Dimostrazione: - 1) Fissato $ϵ>0$ esistono $\alpha ,\beta \in N$ tali che per $n>\alpha$ si ha $|a_n-l|<\frac{ϵ}{2}$ e per $n>\beta$ si ha $|b_n-L|<\frac{ϵ}{2}$. Allora per $n>max(\alpha ,\beta )$ si ha $|(a_n+b_n)-(l+L)|\le |a_n-l|+|b_n-L|<ϵ$ - 2) Si ha $a_n+b_n\ge a_n+h$ quindi dato che D si ha $a_n>k-h$ ne segue $a_n+b_n>k$ Osserviamo: che la successione $\{b_n\}$ nel caso 2 può non essere regolare (e.g se $a_n=n$ e $b_n=(-1{)}^n$ si ha lo stesso che $a_n+b_n\to +\infty$) e quindi possiamo dedurre: 1. Se $a_n\to +\infty$ e $b_n\to L$ allora $a_n+b_n\to +\infty$ 2. Se $a_n\to +\infty$ e $b_n\to +\infty$ allora $a_n+b_n\to +\infty$ 3. Se $a_n\to -\infty$ e $b_n\to L$ allora $a_n+b_n\to -\infty$ 4. Se $a_n\to -\infty$ e $b_n\to -\infty$ allora $a_n+b_n\to -\infty$ se una delle due successioni diverge a $+\infty$ e l’altra a $-\infty$ (o viceversa) si ha una forma indeterminata questo significa che si posso avere molte situazioni diverse.

TIP

I risultati contenuti nei casi 1) e 2) sono utili per studiare le successioni del tipo $\{c{a}_n+c^{\prime }{b}_n\}$

3. Successione prodotto

Date due successioni $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ e prendiamo in considerazione la successione prodotto $\{a_n\cdot b_n\}$ si ha che: 1. Se $a_n\to l$ e $b_n\to L$ allora $a_n\cdot b_n\to l\cdot L$ 2. Se $a_n\to 0$ e $\{b_n\}$ è limitata allora $a_n\cdot b_n\to 0$ - osserviamo che la successione $\{b_n\}$ può non essere regolare ($e.g.$ se $a_n=\frac{1}{n}$ e $b_n=(-1{)}^n$ si ha $a_n\cdot b_n\to 0$) 3. Se $a_n\to +\infty$ ed esiste un numero positivo $h\le b_n$ per ogni $n\in N$ allora $a_n\cdot b_n\to +\infty$ Dai risultati precedenti si deduce la seguente tabella sul comportamento della successione prodotto: - Se $a_n\to +\infty$ e $b_n\to L>0$ allora $a_n\cdot b_n\to +\infty$ - Se $a_n\to +\infty$ e $b_n\to +\infty$ allora $a_n\cdot b_n\to +\infty$ - Se $a_n\to +\infty$ e $b_n\to L<0$ allora $a_n\cdot b_n\to -\infty$ - Se $a_n\to +\infty$ e $b_n\to -\infty$ allora $a_n\cdot b_n\to -\infty$ - Se $a_n\to -\infty$ e $b_n\to L>0$ allora $a_n\cdot b_n\to -\infty$ - Se $a_n\to -\infty$ e $b_n\to -\infty$ allora $a_n\cdot b_n\to +\infty$ - Se $a_n\to -\infty$ e $b_n\to L<0$ allora $a_n\cdot b_n\to +\infty$ Infine se una delle due successione diverge e l’altra tende a $0$ si ha una forma indeterminata

4. Successione reciproca

Sia $\{a_n\}$ una successione regolare e D non nulla, prendiamo in considerazione la successione reciproca $\{\frac{1}{a_n}\}$ allora possiamo dire che: 1. Se $a_n\to l\ne 0$ allora $\frac{1}{a_n}\to \frac{1}{l}$ 2. Se $a_n\to 0$ allora $\frac{1}{a_n}\to \infty$ 3. Se $a_n\to \infty$ allora $\frac{1}{a_n}\to 0$

5. Successione quoziente

Date due successioni $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ con $b_n\ne 0$ D, prendiamo in considerazione la successione quoziente $\{\frac{a_n}{b_n}\}$. Essa viene studiata utilizzando i risultati visti ai punti 3 e 4 scrivendola nella forma $a_n\cdot \frac{1}{b_n}$

Limiti notevoli

Alcune successioni sono espresse mediante funzioni elementari, e qui vediamo le più comuni:

Successione potenza

ovvero $\{n^x\}\text{ con }x\in R$ - Se $x=0$ la successione è costante - Se $x>0$ si ha $n^x\to +\infty$ - Se $x<0$ si ha $x^n=\frac{1}{n^{-x}}\to 0$

Successione in forma di polinomio

ovvero $x_n=a_0{n}^p+a_1{n}^{p-1}+\cdots +a_p$ che per semplicità si trasforma in: $x_n=n^p(a_0+\frac{a_1}{n}+\cdots +\frac{a_p}{n^p})$ e si ha che $n^p\to +\infty$ mentre la quantità fra parentesi tende ad $a_0$ quindi: - $x_n\to +\infty$ se $a_0>0$ - $x_n\to -\infty$ se $a_0<0$

TIP

I termini dentro la parentesi tendono a $0$ perché all’aumentare di $n$ verso $\infty$ questi numeri diventano sempre più piccoli e quindi tendono a $0$, l’unico valore importante per determinare la tendenza della successione è quello di grado più alto ovvero $a_0$ che se moltiplicato per $n^P$ tende a $+\infty /-\infty$ in base al segno

Successione in forma di funzione razionale

ovvero $x_n=\frac{a_0{n}^p+a_1{n}^{p-1}+\cdots +a_p}{b_0{n}^p+b_1{n}^{p-1}+\cdots +b_p}$ che possiamo scrivere anche come: $x_n=n^{p-q}\frac{a_0+\frac{a_1}{n}+\cdots +\frac{a_p}{n^p}}{b_0+\frac{b_1}{n}+\cdots +\frac{b_p}{n^p}}$usando quello che abbiamo detto per le successioni in forma di polinomio possiamo affermare che: 1. se $p=q$ si ha $x_n\to \frac{a_0}{b_0}$ 2. se $p<q$ si ha $x_n\to 0$ 3. se $p>q$ si ha $x_n\to +\infty$ se $a_0$ e $b_0$ hanno lo stesso segno 4. se $p>q$ si ha $x_n\to -\infty$ se $a_0$ e $b_0$ hanno lo segno diverso

EXAMPLE

• $\frac{2n^2+5n+3}{n^2+8}\to 2$
  • stesso grado quindi uso la prima regola
• $\frac{2n^2+5n+3}{n^5+8}\to 0$
  • $p<q$ uso la seconda regola
• $\frac{2n^2+5n+3}{3n^7}\to 0$
  • $p<q$ uso la seconda regola
• $\frac{2n^2+5n+3}{n+8}\to +\infty$
  • $p>q$ e $a_0$ e $b_0$ hanno segno uguale quindi 3 regola
• $\frac{2n^2+5n+3}{8-3n}\to -\infty$
  • $p>q$ e $a_0$ e $b_0$ hanno segno diverso quindi 4 regola
• $\frac{2n^2+8}{8-n^2}\to -\infty$
  • $p>q$ e $a_0$ e $b_0$ hanno segno diverso quindi 4 regola
• $\frac{2n^2-5n^3+3}{8-n^2}\to +\infty$
  • $p>q$ e $a_0$ e $b_0$ hanno segno uguale quindi 3 regola

Successioni geometrica

ovvero $a^n$ con $a\in R$ ha il seguente comportamento al limite:

• $a>1\Rightarrow a_n\to +\infty$
• $a=1\Rightarrow a^n\to 1$
• $0<a<1\Rightarrow a^n\to 0$
• $a=-1\Rightarrow a^n$ è oscillante
• $a<-1\Rightarrow a^n\to |\infty |$ ed è oscillante

Successioni composte mediante funzioni elementari

questo tipo di successioni si basano su questa Proposizione 1: Se $f:X\to R$ è una funzione se $a_n\subseteq X$, $a_n\to l$, $l\in X$ allora si ha $f(a_n)\to f(l)$ Esempio: Se $a_n\to \pi$ si ha $\cos a_n\to \cos \pi$ Di seguito alcuni casi di successioni composte mediante funzioni elementari: 1. Sia $\{x_n\}$ una successione regolare e sia $\alpha$ un numero positivo e diverso da $1$ quindi studiamo la successione $\{a^{x_n}\}$, per la proposizione scritta prima se $x_n\to l$ allora si ha che $a^{x_n}\to a^l$. Se $\{x_n\}$ diverge dobbiamo distinguere se $a>1$ oppure $0<a<1$ e quindi si ha: - $a>1,x_n\to +\infty \Rightarrow a^{x_n}\to +\infty$ - dimostrazione: $a^{x_n}>k$ equivale a $x_n>{\log }_{a}k$ che è D vera dato che $x_n\to +\infty$ - $a>1,x_n\to -\infty \Rightarrow a^{x_n}\to +\infty$ - dimostrazione: $a^{x_n}=\frac{1}{a^{-x_n}}$ - $0<a<1,x_n\to +\infty \Rightarrow a^{x_n}\to 0$ - dimostrazione: basta osservare che $a=\frac{1}{\frac{1}{a}}$ e $\frac{1}{a}>1$ - $0<a<1,x_n\to -\infty \Rightarrow a^{x_n}\to +\infty$ - dimostrazione: basta osservare che $a=\frac{1}{\frac{1}{a}}$ e $\frac{1}{a}>1$ 2. Sia $\{x_n\}$ una successione regolare di numeri positivi e sia $a$ un numero positivo e diverso da $1$ quindi studiamo la successione $\{{\log }_a{x}_n\}$, per la proposizione scritta prima se $x_n\to l>0$ si ha allora che ${\log }_a{x}_n\to lo{g}_{a}l$, però dobbiamo distinguere i vari casi: - $a>1,x_n\to +\infty \Rightarrow {\log }_a{x}_n\to +\infty$ - dimostrazione: ${\log }_a{x}_n>k$ equivale a $x_n>a^k$ che è D vera dato che $x_n\to +\infty$ - $a>1,x_n\to 0\Rightarrow {\log }_a{x}_n\to -\infty$ - dimostrazione: basta osservare che ${\log }_a{x}_n={\log }_a\frac{1}{\frac{1}{x_n}}=-{\log }_a\frac{1}{x_n}$ - $a<1,x_n\to +\infty \Rightarrow {\log }_a{x}_n\to -\infty$ - Basta osservare che $lo{g}_a{x}_n=({\log }_a\frac{1}{a})({\log }_{\frac{1}{a}}{x}_n)=-{\log }_{\frac{1}{a}}{x}_n$ - $a<1,x_n\to +0\Rightarrow {\log }_a{x}_n\to +\infty$ - Basta osservare che $lo{g}_a{x}_n=({\log }_a\frac{1}{a})({\log }_{\frac{1}{a}}{x}_n)=-{\log }_{\frac{1}{a}}{x}_n$ 3. Successione del tipo $(a_n{)}^{b_n}$ essendo $a_n>0$ per ogni $n$. Questa successione si scrive nella forma $(a_n{)}^{b_n}=e^{\log ((a_n{)}^{b_n})}=e^{b_n\log a_n}$ e in questa forma ci si può ricondurre ai casi $1$, $2$. Si avranno forme indeterminate se il prodotto $b_n\log a_n$ si presenta nella forma $0\cdot \infty$ .

Il numero e

Definizione

Consideriamo una successione del tipo: $a_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n$ si può dimostrate che è strettamente crescente per un numero $a_n<3$ $\forall n$ quindi converge ad un numero $<3$ chiamato $e$ che di solito viene definito cosi: $e=lim(1+\frac{1}{n}{)}^n$ Da questo possiamo dedurre i seguenti limiti:

1. Se $x_n\to \infty$ allora si ha: $(1+\frac{1}{x_n}{)}^{x_n}\to e$
2. Siano $a$ un numero positivo diverso da $1$ e $x_n\to 0$ allora si ha: $\frac{{\log }_a(1+x_n)}{x_n}\to {\log }_{a}e$
3. sia $\alpha \in R$ si ha $\frac{(1+x_n{)}^n-1}{x_n}\to \alpha$
4. sia $a_n\to 0$ allora la successione $\{\frac{\sin a_n}{a_n}\}$ allora definitivamente si ha che $|a_n|<\frac{\pi }{2}$

Successioni estratte

Definizione

Date le successioni $\{a_n\}$ e $\{n_k\}$ (quest’ultima strettamente crescente). La funzione composta $\{a_{n_k}\}$ è detta successione estratta da $\{a_n\}$ mediate la legge $\{n_k\}$

EXAMPLE

se $n_k=2k$ si ottiene la successione dei termini di posto pari se $n_k=2k-1$ si ottiene la successione dei termini di posto dispari

Teorema

Teorema di regolarità delle successioni estratte: Se $\{a_n\}$ è regolare, ogni sua estratta ha il suo stesso limite, il viceversa non vale.

Example

$a_n=(-1{)}^n$ la successione dei termini di posto pari è costante e quindi convergente da questo esempio possiamo capire anche che il viceversa non vale perché $a_n$ oscilla

TIP

Se una successione ha due estratte aventi limiti diversi essa oscilla

Si hanno tuttavia i seguenti risultati:

1. se $\{a_{r+k}\}$ è regolare anche $\{a_n\}$ ha il suo stesso limite
2. se $\{a_{2k}\}$ e $\{a_{2k-1}\}$ hanno lo stesso limite, anche $\{a_n\}$ ha il loro stesso limite

EXAMPLE

sia $\{X_n\}$ una successione regolare di numeri tutti positivi e poniamo $a_x=(-1{)}^n{X}_n$, se $x_n\to 0$, si ha anche $a_n\to 0$. Se $x_n\to l>0$

• per n pari si ha $a_n=x_n\to l$
• per n dispari si ha $a_n=-x_n\to -l$

avendo 2 estratte con limiti diversi possiamo dire che non è regolare e quindi oscilla

Confronto tra infiniti e infinitesimi

Infiniti

Siano $\{a_b\}$ e $\{b_n\}$ due successioni infinitamente grandi detti infiniti:

• Sono dello stesso ordine se il loro rapporto tende ad un limite diverso da zero
• Si dice che $\{a_n\}$ è di ordine superiore rispetto a $\{b_n\}$ se il loro rapporto diverge

EXAMPLE

$a_n=n^n$ $b_n=n!$ Intuitivamente $a_n$ è di ordine superiore perché cresce più velocemente

Infinitesimi

Siano $\{a_b\}$ e $\{b_n\}$ due infinitesimi:

• Sono dello stesso ordine se il loro rapporto tende ad un limite diverso da zero
• Si dice che $\{a_n\}$ è di ordine superiore rispetto a $\{b_n\}$ se il loro rapporto tende a zero

EXAMPLE

Dati $a_n=\frac{1}{n},b_n=\frac{2}{n}$ il loro rapporto $\frac{a_n}{b_n}=\frac{\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}}=\frac{1}{2}$ tende ad $\frac{1}{2}$ e quindi sono dello stesso ordine

Dati $a_n=\frac{1}{n^2},b_n=\frac{1}{n}$ il loro rapporto $\frac{a_n}{b_n}=\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n}\to 0$ e quindi $a_n$ è di ordine superiore

Successione definite per ricorrenza

Una successione si dice definita per ricorrenza se viene dato il suo primo termine e viene fornita una legge che calcola ciascun termine in funzione del precedente cioè una funzione del tipo $a_{n+1}=f(a_n)$

EXAMPLE

$\{\begin{array}{l}{a}_1=4\\ a_{n+1}=\sqrt{a_n}\end{array}$ $a_n=\{4,2,1.4,1.18,\cdots \}$

Quando si studia una successione di questo tipo si procede cosi:

• Studiare la monotonia
• Individuo quel numero $l$ che potrebbe essere l’estremo inferiore/superiore
• dal punto precedente segue che $l=\lim a_n$ (grazie a quanto detto sulle successioni estratte sappiamo che anche $l=\lim a_{n+1}$ )
• Per l’unicità del limite si deve avere $f(l)=l$
• Si risolve l’equazione $f(x)=x$ e si cerca tra le eventuali soluzione un numero $l$ che possa essere l’estremo inferiore/superiore della successione. Se non esiste la successione diverge

Cose da ricordare

• $\frac{1}{a_n}\to \infty$
• $\frac{1}{a_n}\to 0$

Categoria	Proprietà/Formule	Espressione
Logaritmi	Prodotto	$$\begin{gathered} lo{g}_b(xy)= \\ lo{g}_b(x)+ \\ lo{g}_b(y) \end{gathered}$$
	Quoziente	$$\begin{gathered} lo{g}_b(x/y)= \\ lo{g}_b(x)- \\ lo{g}_b(y) \end{gathered}$$
	Potenza	$$\begin{gathered} lo{g}_b(x^n)=n \\ cdot \\ lo{g}_b(x) \end{gathered}$$
	Radice	$$\begin{gathered} lo{g}_b( \\ sqrtx)= \\ frac12 \\ lo{g}_b(x) \end{gathered}$$
	Cambio di base	$$\begin{gathered} lo{g}_b(x)= \\ frac \\ lo{g}_k(x) \\ lo{g}_k(b) \end{gathered}$$
Potenze	Prodotto stessa base	$$\begin{gathered} a^m \\ cdot{a}^n=a^{m+n} \end{gathered}$$
	Quoziente stessa base	$frac{a}^m{a}^n=a^{m-n}$
	Potenza di potenza	$(a^m{)}^n=a^{mn}$
	Potenza di prodotto	$$\begin{gathered} (ab{)}^n=a^n \\ cdot{b}^n \end{gathered}$$
	Radice come potenza	$sqrt[n]a=a^{1/n}$
	Radice di potenza	$sqrt[n]a^m=a^{m/n}$
Trigonometria	Identità fondamentale	$$\begin{gathered} si{n}^{2}x+ \\ co{s}^{2}x=1 \end{gathered}$$
	Tangente e secante	$$\begin{gathered} 1+ \\ ta{n}^{2}x= \\ se{c}^{2}x \end{gathered}$$
	Cotangente e cosecante	$$\begin{gathered} 1+ \\ co{t}^{2}x= \\ cs{c}^{2}x \end{gathered}$$
	Doppio angolo (sin)	$$\begin{gathered} sin(2x)=2 \\ sin(x) \\ cos(x) \end{gathered}$$
	Doppio angolo (cos)	$$\begin{gathered} cos(2x)= \\ co{s}^{2}x- \\ si{n}^{2}x \end{gathered}$$
	Doppio angolo (cos) alt.	$$\begin{gathered} cos(2x)=2 \\ co{s}^{2}x-1 \end{gathered}$$
	Doppio angolo (cos) alt.	$$\begin{gathered} cos(2x)=1-2 \\ si{n}^{2}x \end{gathered}$$
	Doppio angolo (tan)	$$\begin{gathered} tan(2x)= \\ frac2 \\ tan(x)1- \\ ta{n}^{2}x \end{gathered}$$
	Mezza angolo (sin²)	$$\begin{gathered} si{n}^{2}x= \\ frac1- \\ cos(2x)2 \end{gathered}$$
	Mezza angolo (cos²)	$$\begin{gathered} co{s}^{2}x= \\ frac1+ \\ cos(2x)2 \end{gathered}$$