Definizioni

Algebra Lineare

Strutture Algebriche

Insieme: collezione di un elementi che hanno tutti una stessa caratteristica
Funzione: dati due insiemi $A$ e $B$ , si dice $f$ (funzione) una legge che associa ad ogni elemento di $A$ uno di $B$ . Spiegazione approfondita delle funzioni $f : R \to R$ si legge ” $f$ definita in $R$ a valori in $R$ “.

Matrici

Matrice: una matrice è una tabella di m-righe e n-colonne, ogni singola “cella” di questa matrice si chiama entrata. Una matrice con lo stesso numeri di righe e di colonne si dice quadrata, queste tipo di matrici possono assumere varie forme:

Triangolare diagonale: se sopra e sotto la diagonale principale ci sono tutti zero.
Triangolare superiore: se sotto la diagonale principale ci sono tutti zero.
Triangolare inferiore: se sopra la diagonale principale ci sono tutti zero. Una qualsiasi matrice si può dire:
Simmetrica: se la matrice è uguale alla sua trasposta.
Antisimmetrica: se la matrice è uguale all’opposta della sua trasposta.

Matrice trasposta: Ipotizzando una matrice A dove ogni entrata è definita come $a_{ij}$ la matrice trasposta di A la matrice trasposta di A che denotiamo con $A^{T}$ con le entrate definite così: $a_{ji}$ Per trasporre una matrice basta scrivere le sue righe sotto forma di colonne. Il determinante di A è uguale a determinante di $A^{T}$

Matrici equivalenti: 2 matrici sono uguali se ogni singola entrate è uguale in entrambe le matrici

Operazioni tra matrici

Somma tra matrici: per sommare 2 matrici quest’ultime devono avere le stesse dimensioni Moltiplicazioni tra un numero e una matrice: il numero per la quale moltiplichiamo la matrice viene detto scalare (nell’esempio sottostante lo scalare si chiama c) Sottrazione tra matrici: per poter fare la differenza tra 2 matrici devo avere lo stesso numero di righe e di colonne in entrambe le matrici Moltiplicazioni tra matrici: date 2 matrici A e B per poter fare la moltiplicazione tra queste deve essere vera almeno una delle 2 condizioni sottostanti:

numero di colonne di A = numero di righe di B
numero di colonne di B = numero di righe di A Ogni entrata della matrice “Risultato” è il risultato di una moltiplicazione tra una riga della prima matrice e una colonna della seconda. Di seguito il calcolo dell’entrata in posizione 1,1 della matrice “Risultato”:

Matrice identità: denotiamo la matrice identità come $I d_{m}$ . Definiamo matrice identità la matrice che rende vera questa cosa:

$I d_{m} * A = A$
$A * I d_{m} = A$ La matrice identità è una matrice quadrata che segue questa forma:

$100010001$

Forma di echelon: una matrice si dice in forma di echelon se:

Se tutte le righe nulle sono in fondo
Se in ogni riga il primo elemento (detto pivot) $\neq = 0$ partendo da sinistra si trova alla destra di tutti i pivot delle righe superiori e ha tutti zero sotto Forma di echelon ridotta: una matrice si dice in forma di echelon ridotta se:
É in forma di echelon normale
tutti i pivot sono uguali ad 1
ogni pivot è l’unico elemento non zero della sua colonna

😍Metodo di Gauss-Jordan:😍 Questo metodo viene usato per trasformare qualsiasi matrice in forma di echelon ridotta, Spiegazione di come funziona (farò riferimento a questa tecnica con la notazione G-J).

Rango: il rango di una matrice è il numero di pivot nella sua forma di echelon ridotta, il rango della matrice A lo denotiamo con $r k A$ , questo numero rispetta sempre questa condizione: - $0 \leq r k A \leq min (m, n)$ Il rango di una matrice è massimo $r k A = min (m, n)$

Invertibilità delle matrici: una matrice si dice invertibile se il suo rango è massimo, denotiamo l’inversa della matrice $A$ con $A^{- 1}$ Inversa di una matrice: Data una matrice A per trovare la sua inversa seguo questi step:

Controllo se il suo rango è massimo
Creo una nuova matrice unendo la matrice A e la matrice identità
Faccio Gauss-Jordan su questa matrice e ottengo una matrice di questo tipo
Se $D = i d_{m}$ allora $D^{'} = A^{- 1}$
Essendo $D = i d_{m}$ allora $D^{'} = B^{- 1}$

Sottomatrici: Sia $a_{ij} \in M_{n, n} (R)$ con $i, j \in 1, \dots, n$ . La sottomatrice $A_{ij}$ di A è una matrice ottenuta rimuovendo le i-esime e le j-esime colonne e righe.

Minore: Il termine “minore” in algebra lineare si riferisce a una sottomatrice di una matrice più grande. Più precisamente, il minore di una matrice è il determinante di una sottomatrice ottenuta rimuovendo una o più righe e colonne dalla matrice originale.

Determinante: è numero associato ad ogni matrice che può dirci molto sulle proprietà della matrice stessa.

Metodo di Sarrus per il calcolo del determinante nelle matrici quadrate che consiste nei seguenti passaggi:

Prendi la tua matrice normale
Riscrivi le prime 2 colonne e tracci le diagonali
Faccio le moltiplicazioni delle diagonali, moltiplicando tutto per + nelle diagonali principali e per - nelle diagonali secondarie

Metodo di Laplace per il calcolo del determinante : questa metodologia si basa su questa formula:

$det (A) = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} (- 1)^{i + j} \cdot M_{ij}$
meno generalizzata diventa: $det A = a_{11} (- 1)^{1 + 1} ∣ A_{11} ∣ + a_{12} (- 1)^{1 + 2} ∣ A_{12} ∣ + \dots + a_{1 m} (- 1)^{1 + m} ∣ A_{1 m} ∣$ Dove:
A è la matrice $n \times n$ .
i è l’indice della riga scelta per lo sviluppo.
$a_{ij}$ è l’elemento della matrice A alla posizione $(i, j)$ .
$M_{ij}$ è il minore ottenuto eliminando la riga i e la colonna j dalla matrice A.

Teorema di Binet: se abbiamo 2 matrici quadrate A,B $\in$ $M_{n, n} (R)$ il $d e t (A * B) = d e t (A) * d e t (B)$ Dimostrazione???

Teorema degli orlati: Data una matrice A $\in M_{m, n}$ e una sottomatrice quadrata di $A$ detta $B$ , con dimensioni $p * p$ se tutte le sotto matrici di A di dimensione $(p + 1) (p + 1)$ ottenute orlando $B$ hanno $d e t = 0$ allora $r k A = p = r k B$ (orlare una matrice consiste nell’aggiungere una riga o una colonna scelte arbitrariamente dalla matrice padre). Di seguito un’esempio con la seguente matrice:

Scegliamo una matrice con det $\neq =$ 0
Alla matrice scelta aggiungiamo una riga ed una colonna scelte in modo casuale e ci calcoliamo il det
Aggiungiamo la riga 5 e la colonna 1 e calcoliamo il det
Continuando e provando notiamo che tutti i determinanti vengono uguali a 0 quindi il $r k A = p = r k B = 2$

Teorema Matrici Invertibili dice che: - a) una matrice A è invertibile $⟺ det A \neq = 0$ - b) se $det A \neq = 0$ allora la matrice inversa è: $A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} \cdot A_{a} = \frac{1}{d e t A} \cdot (A_{ij})^{T}$ - c) se $A$ è invertibile allora $det A^{- 1} = \frac{1}{d e t A}$ - d) $A * A^{- 1} = I d_{m}$

Sistemi Lineari

Sistema Lineare: è un sistema di equazioni a più incognite (sempre di grado 1) per risolvere un sistema lineare possiamo trasformarlo in una matrice, la matrice che ne esce avrà questa forma: $A * X = B$ (questa è la definizione della matrice associata al sistema lineare) Per risolvere un generico sistema lineare possiamo applicare Gauss-Jordan alla matrice completa che ha questa forma: i valori rimasti nella matrice A quando arriviamo in forma di echelon ridotta rappresentano i coefficienti delle incognite, i valori rimasti nella matrice B sono i valori delle incognite. Come possiamo notare da questa immagine facciamo quanto detto prima, le soluzioni che troviamo nella forma finale sono $x_{1} = 0, x_{2} = 0, x_{3} = 2$ usando questo metodo la risoluzione di un sistema lineare diventa banale. Ci sono dei casi speciali in cui si può incappare quando si risolvono i sistemi lineari come quelli di seguito:

Sistema impossibile: in uno dei passaggi di G-J siamo arrivati a questo punto (vedi immagine sotto), come possiamo notare le soluzioni dell’ultima riga sarebbero $x_{1} * 0 + x_{2} * 0 + x_{3} * 0 = 1$ , e quindi che $0 = 1$ questa è chiaramente un’affermazione falsa quindi la risultato del sistema è impossibile da calcolare
Sistema con infinite soluzioni: Arrivati al punto di prendere le soluzioni ci siamo resi conto che $x_{1}$ dipende dal valore di $x_{4}$ e proprio quest’ultima non ha un valore definito, in questo caso si dice che le soluzioni del sistema sono infinite perché dipendono da un parametro, in questo caso $x_{4}$ (nelle soluzioni $x_{4}$ viene posto = $t$ )

Teorema di Rouchè Capelli: Il sistema $A * X = B$ con $n$ variabili e $m$ equazioni ha soluzione se $r k A == r k (A ∣ B) = r$ da qui si sviluppano 2 casi:

se r == n allora il sistema lineare ammette una sola soluzione
se r < n allora esistono infinite soluzione che dipendono da $n - r$ parametri

Sistemi lineari con parametro $α$ : può succedere che in un’esercizio venga inserito un parametro $α$ la risoluzione non cambia da un normale sistema lineare dobbiamo solo fare attenzione a questo valore, questo implica che dobbiamo fare di tutto per evitare che $α$ sia un pivot, se $α$ è un pivot dobbiamo discutere le varie soluzione della matrice al variare del suo valore

Il nostro obbiettivo per continuare con G-J è quello di far diventare il pivot 1, per fare ciò dobbiamo essere sicuro che il valore di $α$ sia diverso da zero, quindi vediamo quando è zero in questo modo: $2 - α - α^{2} = 0$ $=>$ $(α - 1) (α + 2) = 0$ $=>$ $α = 1, - 2$ Da questo capiamo che i casi da discutere sono 3:

$α = 1$
$α = 2$
$α \neq = 1, 2$ Di seguito il continuo dell’esercizio Nell’ultimo caso si vede un’applicazione del teorema di Rouchè Capelli (si lascia al lettore il brivido della scoperta delle soluzioni di quest’ultima matrice 😉)

Sistemi omogenei: un sistema omogeneo è un sistema lineare che si basa su questo paradigma: $A * X = 0$ e che quindi la matrice B dei termini noti è una matrice nulla (con tutti 0), la risoluzione di questo tipo di sistema lineare non differisce con un sistema lineare normale.

Continuare dal teorema di Cramer pdf del 17 ottobre 2024

Teorema di Cramer: Per trovare le soluzioni di un sistema lineare del tipo $A X = B$ con $det A \neq = 0$ ovvero un sistema detto determinato (ammette una e una sola ( $\exists!$ ) soluzione). Calcoliamo l’unica soluzione delle incognite in questo modo:

$x_{i} = \frac{d e t ( B _{i} )}{d e t ( A )} \forall i \in {1, 2, ..., n}$ dove $n$ è il numero di incognite
- $B_{1}$ si calcola sostituendo la $1^{a}$ colonna di $A$ con $B$ .
- $B_{2}$ si calcola sostituendo la $2^{a}$ colonna di $A$ con $B$ .
- $\dots$
- $B_{n}$ si calcola sostituendo la $n^{a}$ colonna di $A$ con $B$ . Esempio di come trovare le soluzioni di un sistema lineare usando Cramer Dimostrazione: prendo $A x = B \Leftrightarrow x = A^{- 1} B$ quello che devo dimostrare è che A è uguale a B se e soltanto se moltiplicata per quella x quindi seguo i seguenti passi:
Sostituisco $A^{- 1} B$ ad $x$ della prima formula e quindi diventa: $A * (A^{- 1} B) = B$
Sposto le parantesi: $(A * A^{- 1}) B = B$
Per definizione di matrice inversa $A * A^{- 1} = I d_{m}$
Quindi l’espressione diventa $B = B$

Spazi Vettoriali

Spazio Vettoriale: si dice spazio vettoriale su un campo K (K-spazio vettoriale) un insieme su cui sono definite due operazioni + e * (G, + *) e valgono le proprietà: - (G, +) è gruppo - Con * vale associatività. - Con * esiste elemento neutro. - Vale distributività della somma rispetto al prodotto esterno. $(a + b) \cdot v = a v + b v$ - Vale distributività del prodotto esterno rispetto alla somma. $a \cdot (v + w) = a v + a w$
Sottospazio: $W$ è sottospazio di $V$ se $W \subseteq V$ e $W$ è un $K$ spazio vettoriale rispetto alle operazioni di somma e prodotto definite su $V$ .
Intersezione tra sottospazi: è sempre un sottospazio
Unione tra sottospazi: è sottospazio solo se uno dei due è sottoinsieme dell’altro (ovvio)
Combinazione Lineare: un vettore è combinazione lineare di $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ se esistono $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ tali che $v = a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + \dots + a_{n} v_{n}$ .
Insieme di Generatori: dato un K-spazio vettoriale $V$ , un insieme $(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n})$ è detto insieme di generatori (indicato con $G {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ ) se preso un qualunque vettore $z \in V$ esso si può scrivere come combinazione lineare (C.L.) dei vettori di $G$ .
Base: un insieme $(v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n})$ è detto Base di $V$ se ogni elemento di $V$ è combinazione lineare (C.L.) di $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ in modo unico. - $B$ è base $⟺$ i vettori di $B$ sono L.I. e generatori.
Linearmente Indipendenti: i vettori $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ si dicono linearmente indipendenti se quando $a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + \dots + a_{n} v_{n} = 0$ allora ne deve seguire che $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n} = 0$
Lemma di Steinitz: numero di vettori generatori $\geq$ numero di vettori linearmente indipendenti.
Teorema che caratterizza una base: dato $B = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ , $B$ è un insieme $⟺$ i vettori sono L.I. e generatori.
Teorema sulle Basi: tutte le basi di un K-spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi. - Dimostrazione (2*, L10): Si usa il Lemma di Steinitz.

Applicazioni Lineari

Applicazione Lineare: corrispondenza (funzione) tra due K-spazi vettoriali.
Immagine ( $im f$ ): insieme del codominio formato dai vettori immagine dei vettori del dominio. - L’immagine è sottospazio del codominio, si dimostra (4*. L13) provando che è chiusa rispetto alla somma e al prodotto esterno. - Studio - $dim im f = ρ$ - Base: vettori L.I. di V (gli stessi che formano il rango) - Equazione Cartesiana: metodo matrice Z (si mettono in riga i vettori base, nell’ultima riga le incognite, si calcola il determinante)
Nucleo ( $ker f$ ): insieme del dominio formato dai vettori che hanno come immagine il vettore nullo. - Il nucleo è sottospazio del dominio, si dimostra (5*, L14) provando che è chiusa rispetto alla somma e al prodotto esterno esterno. - Studio - $dim ker f = dim V - dim im f$ - Base: $A \cdot X = 0$ - Equazioni Cartesiane: ricavate dal sistema precedente (o metodo matrice Z)
Iniettività: una funzione si dice iniettiva se presi due qualsiasi vettori del dominio diversi allora ne deve seguire che le loro immagini siano diverse.
Suriettività: una funzione si dice suriettiva se ogni vettore del codominio è raggiunto da almeno un vettore del dominio.
Teorema sul Nucleo e Iniettività: afferma che $f$ è iniettiva $⟺ ker f = {0}$ - Dimostrazione (6*, L14)
Applicazione Identica: applicazione lineare cui legge corrisponde a $i (z) = z$
Applicazione Inversa: Date due applicazioni lineari $f : V \to W$ e $g : W \to V$ se $g \circ f = i_{v}$ e $f \circ g = i_{w}$ allora $f$ è invertibile e $g$ è detta applicazione inversa di $f (g = f^{- 1})$ . - $f$ e $g$ devono essere suriettive e iniettive. ---

Endomorfismi

Endomorfismo: applicazione lineare dove dominio $=$ codominio.
Isomorfismo: un’applicazione lineare biettiva (iniettiva e suriettiva), quindi necessariamente endomorfismo.
Autovalore: dato un endomorfismo $f : V \to V$ , $λ$ si dice autovalore se esiste un vettore $v \in V$ con $v \neq = 0$ tale che $f (v) = λ v$ . $λ autovalore ⟺ \exists v \in V, v \neq = 0 ∣ f (v) = λ v$
Autovettore: dato un endomorfismo $f : V \to V$ , $v \in V$ , $v \neq = 0$ si dice autovettore se esiste un $λ \in K$ tale che $f (v) = λ v$ . $v \in V, v \neq = 0 autovettore ⟺ \exists λ \in K ∣ f (v) = λ v$
Autospazio: dato un endomorfismo $f : V \to V$ , si dice autospazio $V_{λ}$ il sottospazio di V definito nel modo seguente: $V_{λ} = {v \in V ∣ f (v) = λ v} \subseteq V$
Polinomio Caratteristico: data una matrice $A$ il $P . C . = det (A - T \cdot I)$ .
Molteplicità Algebrica: per molteplicità algebrica di $λ$ si intende il numero di volte in cui $λ$ è soluzione del polinomio caratteristico.
Molteplicità Geometrica: per molteplicità geometrica di $λ$ si intende la dimensione dell’autospazio $V_{λ}$ .
Endomorfismo Associato all’Autovalore: indichiamo con $f_{λ}$ l’endomorfismo associato all’autovalore $λ$ . $f_{λ} (v) = f (v) - λ v$
Teorema sulle Molteplicità: dato un endomorfismo $f : V \to W$ e un autovalore $λ \in K$ allora $0 < g_{λ} \leq m_{λ}$ .
Endomorfismo Semplice: un endomorfismo si dice semplice se esiste una base formata interamente da autovettori.
Matrici simili: due matrici $A$ e $B$ si dicono simili se $\exists P \in K^{n, n} ∣ P^{- 1} A P = B$ .
Teorema sulla diagonalizzazione: una matrice $A \in K^{n, n}$ è diagonalizzabile $⟺$ $f_{A} : K^{n} \to K^{n}$ è semplice oppure se è simile a una matrice diagonale. - Matrice Diagonalizzata: matrice che ha sulla diagonale principale le molteplicità algebriche degli autovalori. - Matrice Diagonalizzante: matrice che ha in colonna una base degli autovettori.
Teorema Autospazio: sia $V$ un K-spazio vettoriale e $f : V \to W$ un endormofismo. Allora ne segue che $V_{λ} = ker f_{λ}$ . - Dimostrazione (7*, L19): si usa la definizione dell’autospazio. ---

Andrea Girlando

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