Capitolo 4

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Calcolo differenziale per le funzioni reali di una variabile reale

Derivabilità

Rapporto incrementale

^47484b Dati una funzione $f:(a,b)\to R$ e un punto $c\in (a,b)$ abbiamo definito il rapporto incrementale di $f$ relativo al punto $c$ in queste 2 forme:

• $r(x)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ definito in $(a,b)\backslash \{c\}$
• $R(h)=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$ definito in $(a-c,b-c)\backslash \{0\}$

e abbiamo visto che la funzione $f$ è crescente\decrescente nel punto $c$ se e solo se $r(x)>\backslash <0$ in un intorno di $c$. Ricordiamo che $r$ ed $R$ si ottengono per composizione l’uno dell’altro, e quindi:

• Per il teorema sui limiti delle funzioni composte è del tutto equivalente calcolare il limite di $r$ al tendere di $x$ a $c$ o il limite di $R$ al tendere di $h$ a $0$.
• Se tale limite è positivo\negativo per il teorema della permanenza del segno la funzione risulterà crescente\decrescente nel punto $c$

Definizione

Si dice che $f$ è derivabile nel punto $c$ se il limite del rapporto incrementale (${\lim }_{x\to c}r(x)$ oppure ${\lim }_{h\to 0}R(h)$) esiste ed è finito si dice che tale limite è detto derivata di $f$ in $c$ e si denota con $f^{\prime }(c)$. Inoltre possiamo dire che:

• $f$ è derivabile in $(a,b)$ se lo è in ogni punto, e in tal caso si definisce una funzione $f^{\prime }:(a,b)\to R$ che ad ogni punto $x\in (a,b)$ associa la derivata di $f$ in $x$
• se la funzione $f^{\prime }$ è a sua volta derivabile in $c$, la sua derivata è detta derivata seconda di $f$ in $x$ e si denota con $f^{\prime \prime }$ se ciò accade in ogni punto di $(a,b)$ allora possiamo definire la funzione $f^{\prime \prime }:(a,b)\to R$, procedendo in modo iterativo si possono definire le derivate di ordine superiore

Tip

$f$ è derivabile in $c$ se:

• ${\lim }_{x\to c}r(x)$ per valori di $x$ che si avvicinano a $c$ il rapporto incrementale esiste ed è finito
• ${\lim }_{h\to 0}R(h)$ per valori di $h$ che si avvicinano a $0$ il rapporto incrementale esiste ed è finito

Derivata destra e sinistra

Se il punto $c$ è interno all’intervallo $(a,b)$ è possibile calcolare il limite sinistro e destro del rapporto incrementale, se esistono e sono finiti, essi vengono chiamati:

• $f_{-}^{\prime }(c)$ derivata sinistra
• $f_{+}^{\prime }(c)$ derivata destra Ovviamente $f$ è derivabile in $c$ se e solo se $f_{-}^{\prime }(c)=f_{+}^{\prime }(c)$. Se l’intervallo è chiuso è possibile prendere in considerazione la derivata anche nei punti $a$ e $b$:
• la derivata nel punto $a$ è una derivata destra
• la derivata nel punto $b$ è una derivata sinistra

Teoremi

Teorema: Se $f$ è derivabile in $c$ allora è continua Dimostrazione: Si ha $f(x)=f(x)-f(c)+f(c)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}(x-c)+f(c)$e questa quantità al tendere di $x$ a $c$ converge a $f^{\prime }(c)\cdot 0+f(c)=f(c)$. Il viceversa non vale, consideriamo i due seguenti esempi:

1. $f(x)=\sqrt{x},c=0.$ Il rapporto incrementale $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ diverge al tendere di $x$ a $0$
2. $f(x)=|x|,c=0$. Il rapporto incrementale $r(x)=\frac{|x|}{x}$ vale $1$ per $x>0$ e $-1$ per $x<0$ quindi tende ad $1$ al tendere di $x$ a $0$ da destra e a $-1$ al tendere di $x$ a $0$ da sinistra. Le funzioni presentate nei precedenti esempi sono continue nel punto $c=0$ ma non sono derivabili in tale punto. Il seguente risultato prova che una funzione è derivabile nel punto $c$ solo se è possibile approssimarla in un intorno di $c$, con un polinomio di primo grado.

Teorema: $f$ è derivabile in $c$ se e solo se esiste un polinomio di primo grado $p$ tale che $p(c)=f(c)$ e che ${\lim }_{x\to c}\frac{f(x)-p(x)}{x-c}=0$
Osservazione: la condizione ${\lim }_{x\to c}\frac{f(x)-p(x)}{x-c}=0$ significa che la differenza $f(x)-p(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x-c$ quindi al tendere di $x$ a $c$ è trascurabile: dunque $f$si può approssimare con il polinomio $p$ Dimostrazione: Se $f$ è derivabile in $c$, basta porre: $p(x)=f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)$si ha infatti $\frac{f(x)-p(x)}{x-c}=\frac{f(x)-f(x)}{x-c}-f^{\prime }(c)\to 0$ Viceversa, se esiste il polinomio $p=f(c)+a(x-c)$ si ha $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\frac{f(x)-p(x)+p(x)-f(c)}{x-c}=\frac{f(x)-p(x)}{x-c}+a\to 0+a\text{ quindi esiste }{f}^{\prime }(c)=a$

Interpretazione geometrica

La derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente in un punto del grafico. La retta secante, che unisce due punti $(c,f(c))$ e $(c+h,f(c+h))$, ha coefficiente angolare dato dal rapporto incrementale $R(h)$. Se la funzione $f$ è derivabile in $c$, ${\lim }_{h\to 0}R(h)=f^{\prime }(c)$. In questo caso, la retta secante tende alla tangente al grafico in $c$, con equazione $y=f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)$. La tangente rappresenta la posizione limite delle secanti e approssima il grafico localmente come un polinomio di primo grado. In situazioni particolari, come $f(x)=\sqrt{x}$ in $x=0$, la tangente può essere verticale.

Regole di derivazione

In questo paragrafo vengono presentate le regole per derivare funzioni ottenute mediante operazioni tra funzioni derivabili:

1. Combinazione lineare: Siano $f,g$ derivabili in un punto $c$ e $h,k\in R$. Indicata con $F$ la combinazione lineare $F(x)=hf(x)+kg(x)$ questa è derivabile nel punto $c$ e diventa: $F^{\prime }(x)=h{f}^{\prime }(c)+k{g}^{\prime }(x)$. Il rapporto incrementale di $F$ è la combinazione lineare dei rapporti incrementali di $f$ e $g$ mediante le costanti $h$ e $k$
2. Prodotto: Siano $f,g$ derivabili in un punto $c$. Indicata con $p$ la funzione prodotto $p(x)=f(x)g(x)$, quest’ultima è derivabile nel punto $c$ e si ha $p^{\prime }(c)=f(c)g^{\prime }(c)+f^{\prime }(c)g(c)$
3. Reciproco: Sia $f$ derivabile in un punto $c$ e tale che $f(c)\ne 0$. Indichiamo con $F$ la funzione reciproca del tipo $F(x)=\frac{1}{f(x)}$, la funzione $F$ è derivabile nel punto $c$ e si ha $F^{\prime }(c)=\frac{-f^{\prime }(c)}{(f(c){)}^2}$
4. Quoziente: Siano $f,g$ derivabili in un punto $c$ e si abbia $g(c)\ne 0$. Indicata con $q$ la funzione quoziente del tipo $q(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, la funzione $q$ è derivabile nel punto $c$ e si ha $q^{\prime }(c)=\frac{f^{\prime }(c)g(c)-f(c)g^{\prime }(c)}{(g(c){)}^2}$arriviamo a questa conclusione scrivendo $q$ nella forma $q(x)=f(x)\frac{1}{g(x)}$ e applicando le regole 2 e 3
5. Funzione composta: Siano date due funzioni
   • $f:(\alpha ,\beta )\to R$
   • $g(a,b)\to (\alpha ,\beta )$ e supponiamo che $g$ sia derivabile nel punto $c$ e che $f$ sia derivabile nel punto $g(c)$ allora indichiamo con $F$ la funzione composta del tipo: $F(x)=f(g(x))$ questa è derivabile nel punto $c$ e diventa $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(c))g^{\prime }(c)$
6. Funzione inversa: Sia $f:[a,b]\to R$ una funzione strettamente crescente e continua, se essa è invertibile la sua inversa è $f^{-1}:[f(a),f(b)]\to [a,b]$, sia $\gamma \in [f(a),f(b)]$, dato $c\in [a,b]$ tale che $\gamma =f(c)$ allora si può dimostrare che $f^{-1}$ è derivabile in $\gamma$ e diventa $(f^{-1})(\gamma )=\frac{1}{f^{\prime }(c)}$

Derivate delle funzioni elementari

Di seguito le formule che permettono di derivare le funzioni elementari:

1. Funzione costante: Se $f(x)=k\forall x\in R$ il suo rapporto incrementale è nullo quindi $f(x)=k\text{ diventa }{f}^{\prime }(x)=0$
2. Funzione potenza con esponente intero: $f(x)=x^n\text{ diventa }{f}^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}\text{ (* n puoˋ essere negativo) }$nel caso $n=2$ il rapporto incrementale è:
3. Funzione con valore assoluto: la funzione $f(x)=|x|$ non è derivabile nel punto $x=0$ mentre:
   • se $x>0$ si ha $f^{\prime }(x)=1$
   • se $x<0$ si ha $f^{\prime }(x)=-1$ la derivata di $f$ è la cosiddetta funzione segno, che può essere scritta mediante l’espressione $F^{\prime }(c)=\frac{|x|}{x}$ $f(x)=|x|\text{ diventa }{f}^{\prime }(x)=\frac{|x|}{x}$
4. Funzione esponenziale: Se $f(x)=a^x$ il rapporto incrementale è $r(x)=\frac{a^x-a^c}{x-c}=a^c\frac{a^{x-c}-1}{x-c}$ e si può provare che al tendere di $x$ a $c$ si ha il limite $a^c\log a$ e quindi si ha che: $f(x)=a^x\text{ diventa }{f}^{\prime }(x)=a^x\log a$inoltre se $a=e$ allora si ha che $f(x)=e^x\text{ diventa }{f}^{\prime }(x)=e^x$
5. Funzione logaritmo: Per calcolare questa derivata useremo la regola per la derivata della funzione inversa. Preso $f(x)=e^x$ la cui inversa è $\log x$, se $\gamma >0$, sia $c\in R$ tale che $e^c=\gamma$ ossia $c=\log \gamma$. Si ha $f^{\prime }(c)=e^c\ne 0$ quindi $(f^{-1}{)}^{\prime }(\gamma )=\frac{1}{e^c}=\frac{1}{\gamma }$ quindi ne segue che: $f(x)=\log x\text{ diventa }{f}^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$o più in generale che: $f(x)={\log }_{a}x\text{ diventa }{f}^{\prime }(x)=\frac{1}{x}{\log }_{a}e$Inoltre grazie alla regola delle funzioni compose possiamo dire che: $F(x)=\log |f(x)|\text{ diventa }{f}^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$
6. Funzione potenza con esponente qualunque: Se $x>0$ consideriamo $f(x)=x^a=e^{log{x}^a}=e^{a\log x}$ da cui $f^{\prime }(x)=e^{a\log x}a\frac{1}{x}=a\frac{x^a}{x}=a{x}^{a-1}$ quindi possiamo dire che $f(x)=x^a\text{ diventa }{f}^{\prime }(x)=a{x}^{a-1}$
7. Funzioni trigonometriche: usando la formula del rapporto incrementale si dimostra che $f(x)=sin(x)\text{ diventa }{f}^{\prime }(x)=cos(x)$ $f(x)=cos(x)\text{ diventa }{f}^{\prime }(x)=-sin(x)$ $f(x)=tan(x)=\frac{\sin x}{\cos x}\text{ diventa }{f}^{\prime }(x)=ta{n}^{2}x+1=\frac{1}{co{s}^{2}x}$
8. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche: utilizzando le regole di derivazione delle funzioni inverse si può provare che: f(x) = \arcsin(x) \text{ diventa } f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$$$f(x) = \arccos(x) \text{ diventa } f'(x) = \frac{1}{-\sqrt{1-x^2}}$$$$f(x) = \arctan(x) \text{ diventa } f'(x) = \frac{1}{1+x^2}

Teoremi sul calcolo differenziale e loro applicazioni allo studio delle funzioni

Studiare una funzione significa individuare a partire dalla legge di definizione le sue principali proprietà analitiche:

• limitatezza
• continuità
• derivabilità
• monotonia
• convessità
• ecc… Per individuare alcune di queste proprietà sarà molto utile lo studio delle derivate.

Conseguenza della derivata

Ricordando il teorema sul rapporto incrementale scritto nel capitolo 1 che ci diceva che la funzione $f$ è crescente (o decrescente) nel punto $c$ se e solo se $r(x)>0$(o $r(x)<0$) in un intorno di $c$. Quindi usando le derivate possiamo affermare che se $f^{\prime }(c)>0$ (o $f^{\prime }(c)<0$) allora per il teorema della permanenza del segno si avrà $r(x)>0$(o $r(x)<0$) in un intorno di $c$.

Teorema 1 (monotonia locale)

Teorema: Se $f^{\prime }(c)>0$ $(\text{ oppure }{f}^{\prime }(c)<0)$ allora $f$ è crescente (oppure decrescente) nel punto $c$, il viceversa non è vero.

• Ad esempio $f(x)=x^3$ è crescente nel punto $c=0$ ma $f^{\prime }(0)=0$.

Teorema di Fermat

Teorema: Data una funzione $f(a,b)\to R$ sia $c\in ]a,b[$ un punto di minimo o di massimo relativo per $f$. Si supponga che $f$ sia derivabile nel punto $c$ allora si ha $f(c{)}^{\prime }=0$ Dimostrazione: Dato che il $c$ è interno, la derivata è il limite del rapporto incrementale sia da sinistra che da destra. il numeratore del rapporto incrementale in un intorno di $c$ ha sempre lo stesso segno sia a destra che a sinistra, mentre il denominatore è negativo a sinistra di $c$ e positivo a destra, quindi possiamo dire che:

• $f^{\prime }(c)=f_{-}^{\prime }(c)={\lim }_{x\to c^{-}}r(x)\le 0$
• $f^{\prime }(c)=f_{+}^{\prime }(c)={\lim }_{x\to c^{+}}r(x)\ge 0$ quindi necessariamente $f^{\prime }(c)=0$. Il viceversa di questo teorema non vale infatti prendendo la funzione $f(x)=x^3$ si ha $f^{\prime }(0)=0$ ma il punto $c=0$ non è un estremo relativo, infatti $f$ è crescente in ogni punto di $R$. Quindi il fatto che $f^{\prime }(c)=0$ è una condizione necessaria, ma non sufficiente, per l’esistenza di un estremo relativo. Infine possiamo dire che i punti $c$ tale $f^{\prime }(c)=0$sono detti punti stazionari o critici per $f$.

Teorema di Rolle

Teorema: Sia $f$ una funzione reale continua nell’intervallo chiuso $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$ tale che $f(a)=f(b)$. Allora esiste $c\in ]a,b[$ tale che $f^{\prime }(c)=0$ Dimostrazione: Per il teorema di Weierstrass $f$ è dotata di minimo e massimo assoluti:

• $x_1$ punto di minimo assoluto
• $x_2$ punto di massimo assoluto Se $x_1=a$ e $x_2=b$ (o viceversa) allora il minimo e il massimo assoluti della funzione sono uguali quindi $f$ è costante e la sua derivata è ovunque nulla. In caso contrario uno dei due punti $x_1,x_2$ è interno, in esso allora la derivata è nulla per il teorema di Fermat

Teorema di Lagrange

Teorema: Sia $f$ una funzione reale continua nell’intervallo $[a,b]$ e derivabile $]a,b[$. Allora esiste $c\in ]a,b[$ tale che $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$ Dimostrazione: Consideriamo in $[a,b]$ la funzione $g(x)=(f(b)-f(a))x+(a-b)f(x)$Si vede facilmente che essa verifica le ipotesi del teorema di Rolle, quindi esiste $c\in ]a,b[$ tale $g^{\prime }(c)=0$. Dal fatto che $g^{\prime }(x)=f(b)-f(a)+(a-b)f^{\prime }(x)$ segue subito la tesi.

Corollari del teorema di Lagrange

1. Teorema del prolungamento della derivata: Sia data una funzione $f:(a,b)\to R$ e sia $c\in (a,b)$. Supponiamo che $f$ sia derivabile in $(a,b)\backslash \{c\}$ e che sia continua in $c$. Supponiamo inoltre che esista il ${\lim }_{x\to c}{f}^{\prime }(x)$ e sia esso $l$ allora si ha ${\lim }_{x\to c}r(x)=l$
   • Osservazione: Dal teorema appena enunciato segue che le funzioni $\arcsin x$ e $\arccos x$ non sono derivabili in $-1$ e $1$, infatti sono continue ma le loro derivate divergono al tendere di $x$ a tali punti.
2. Criterio di monotonia: Sia data una funzione $f:(a,b)\to R$ derivabile, questa è un condizione sufficiente affinché $f$ sia crescente in $(a,b)$ è che $f^{\prime }(x)\ge 0\forall x\in (a,b)$
   • Dimostrazione: Siano $x,y\in (a,b)$ con $x<y$. Applicando il teorema di Lagrange ad $f$ nell’intervallo $[x,y]$ si ottiene che esiste $c\in ]x,y[$ tale che $f(y)-f(x)=(y-x)f^{\prime }(c)\ge 0$ da cui la tesi.
3. Criterio di stretta monotonia: Sia data una funzione $f:(a,b)\to R$ derivabile. Condizione necessaria e sufficiente affinché $f$ sia strettamente crescente in $(a,b)$ è che:
   • $f^{\prime }(x)\ge 0\forall x\in (a,b)$
   • e che non esista nessun intervallo $(c,d)\subseteq (a,b)$ tale che $f^{\prime }(x)=\forall x\in (c,d)$
4. Teorema sulle funzioni con derivata nulla: Sia data una funzione $f:(a,b)\to R$ derivabile, tale che $f^{\prime }(x)=0\forall x\in (a,b)$, allora $f$ è costante in $(a,b)$
   • Dimostrazione: Siano $x,y$ due punti generici di $(a,b)$ con $x<y$. Applicando il teorema di Lagrange ad $f$ nell’intervallo $[x,y]$ si ottiene l’esistenza di $c\in ]x,y[$ tale che $f(y)-f(x)=f^{\prime }(c)(y-x)$ quindi $f(x)=f(y)$ e date che $x$ e $y$ sono arbitrari, ne segue la tesi.
   • Osservazione: è importante che $f$ sia definita in un intervallo, infatti se ad esempio prendiamo la funzione definita in $[0,1]\cup [4,5]$ ponendo $f(x)=2$ in $[0,1]$ e $f(x)=6$ in $[4,5]$ ha derivata nulla in tutto il suo insieme di definizione ma non è costante.

Metodo per lo studio dei punti stazionari

Metodo:

Sia $f$ una funzione derivabile in $(a,b)$ e sia $c\in (a,b)$ tale che $f^{\prime }(c)=0$. Dai risultati precedenti segue che $c$ può essere un punti di estremo relativo. Ricordando i criteri di monotonia segue che:

1. se $f^{\prime }(x)<0$ in un intorno sinistro di $c$ e $f^{\prime }(x)>0$ in un intorno destro di $c$, allora $c$ è un punto di minimo relativo per $f$.
2. se $f^{\prime }(x)>0$ in un intorno sinistro di $c$ e $f^{\prime }(x)<0$ in un intorno destro di $c$, allora $c$ è un punto di massimo relativo per $f$. In pratica un punto stazionario $c$ è un punto di estremo relativo per $f$ se in corrispondenza di $c$ la derivata cambia segno. Se esiste la derivata seconda in $c$, possiamo raffinare lo studio anche utilizzando il segno della derivata seconda, e precisamente si ha:
3. $f^{\prime \prime }(c)>0$, allora $c$ è un punto di minimo relativo per $f$
4. $f^{\prime \prime }(c)<0$, allora $c$ è un punto di massimo relativo per $f$ Infatti dato che $f^{\prime \prime }(c)$ è la derivata della funzione $f^{\prime }$ nel punto $c$, se $f^{\prime \prime }(c)>0$ la funzione $f^{\prime }$ è crescente nel punto $c$, in cui vale zero, quindi si avrà $f^{\prime }(x)<0$ in un intorno sinistro di $c$ e $f^{\prime }(x)>0$ in un intorno destro di $c$ e dal risultato “1.” ne segue che $c$ è un punto di minimo relativo per $f$.

In definitiva

se $f^{\prime }(c)\ne 0$ la funzione $f$ è crescente o decrescente nel punto $c$ se $f^{\prime }(c)=0$ e $f^{\prime \prime }(c)\ne 0$, $c$ è un punto di estremo relativo per $f$

Metodo per la ricerca degli estremi assoluti

Metodo:

Sia $f$ una funzione reale continua in $[a,b]$ il teorema di Weierstrass assicura l’esistenza degli estremi assoluti, per individuarli occorre determinare i seguenti insiemi:

• $A=\{c\in ]a,b[:f^{\prime }(c)=0\}$
• $B=c\in ]a,b[:\exists f^{\prime }(c)$
• $C=\{a;b\}$ in quanto, se un punto di estremo assoluto appartiene all’interno di $[a,b]$ in tale punto la derivata, se esiste, è nulla per il teorema di Fermat: Pertanto, i punti di estremo assoluto andranno cercati o all’interno dell’intervallo, e in tal caso la derivata o non esiste oppure esiste e vale zero, oppure agli estremi dell’intervallo. Un volta determinati i tre insiemi $A,B,C$ basta calcolare i valori della funzione in tutti i punti di tali insiemi per trovare il minimo e il massimo.

Funzioni localmente convesse

Definizione

Sia $f:(a,b)\to R$ una funzione derivabile e sia $c\in (a,b)$, ricordiamo che l’equazione della tangente al grafico di $f$ nel punto di ascissa $c$ è $y=f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)$ e questa divide il piano in due semipiani:

• Semipiano superiore definito come: $\overline{S}=\{(x,y)\in R^2:y\ge f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)\}$
• Semipiano inferiore definito in modo analogo e lo indichiamo con $\underline{S}$ La funzione $f$ si dice convessa nel punto $c$ se esiste $r>0$ tale che, se $x\in ]c-r,c+r[$ si ha: $f(x)\ge f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)$ossia per tutti i punti di un opportuno intorno di $c$ il corrispondente punto del grafico appartiene a $\overline{S}$. La funzione si dice concava nel punto $c$ se per tutti i punti di un opportuno intorno di $c$ il corrispondente punto del grafico appartiene a $\underline{S}$. Se $f$ in $c$ non è né convessa né concava si dice che $c$ è un punto di flessoper $f$, hanno particolare interesse i punti di flesso detti punti di flesso propri che si hanno quando:
• se $x\in ]c-r,c[$ il corrispondente punto del grafico appartiene a $\overline{S}$
• se $x\in ]c,c+r[$ il corrispondente punto del grafico appartiene a $\underline{S}$ Si può dimostrare che $f$ è convessa in $(a,b)$ se lo è in ogni punto.

Teoremi

Teorema: sia $f$ una funzione derivabile in $(a,b)$ e sia $c\in (a,b)$ tale che esista $f^{\prime \prime }(c)>0$. Allora $f$ è convessa in $c$ (allo stesso modo si dice che se esiste $f^{\prime \prime }(c)<0$ allora $f$ è concava in $c$.) Dimostrazione: Dobbiamo provare che in un opportuno intorno di $c$ si ha $f(x)\ge f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)$. Consideriamo allora in $(a,b)$ la funzione $F(x)=f(x)-f(c)-f^{\prime }(c)(x-c)$, la funzione che ci indica la distanza verticale tra $f(x)$ e la tangente in $c$ quindi ci basterà provare che $F(x)\ge 0$ (se questo valore è positivo la nostra funzione si trova sopra la tangente) in un intorno di $c$. Da questo capiamo che:

• Si ha $F(c)=f(c)-f(c)-f^{\prime }(c)(c-c)=0$
• $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(c)$ che è uguale a 0 nel punto $x=c$
  • la derivata di $f(c)$ è $0$ quindi non lo scrivo
  • la derivata di $f^{\prime }(c)(x-c)$ è $f^{\prime }(c)$
• e che esiste $F^{\prime \prime }(c)=f^{\prime \prime }(c)$. $F$ ha dunque in $c$ un minimo relativo (perché la derivata prima è 0 invece la seconda è positiva) dunque esiste un intorno di $c$ in tutti i punti del quale si ha $F(x)\ge F(c)=0$ come si voleva.

Continuo del teorema: Ne segue che se esiste la derivata seconda in tutto l’intervallo $(a,b)$, gli eventuali punti di flesso vanno cercati fra i punti $c$ tali che $f^{\prime \prime }(c)=0$ e in tal caso si ha un flesso proprio se:

• $f^{\prime \prime }(x)<0$ in un intorno sinistro di $c$
• $f^{\prime \prime }(x)>0$ in un intorno destri di $c$

Teorema di de l’hopital: Siano $f,g$ due funzioni reali derivabili in $(a,b)\backslash \{c\}$ tali che:

1. ${\lim }_{x\to c}f(x)={\lim }_{x\to c}g(x)=0$ oppure che ${\lim }_{x\to c}f(x)={\lim }_{x\to c}g(x)=\infty$
2. $g^{\prime }(x)\ne 0\forall x\in (a,b)\backslash \{c\}$
3. esiste il ${\lim }_{x\to c}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=l$ ($l\in R$ oppure $l=\pm \infty$) Allora, si ha:

• $g(x)\ne 0\forall x\in (a,b)\backslash \{c\}$
• ${\lim }_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=l$

EXAMPLE

Si voglia calcolare il ${\lim }_{x\to 0}x\log x$ allora si ha: $x\log x=\frac{\log x}{\frac{1}{x}}$
facendo la derivata otteniamo: $\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{x}\times -x^2=-x\to 0$ quindi possiamo concludere che il limite richiesto vale zero

Questo teorema può essere utile anche nella ricerca degli asintoti obliqui. Supponendo infatti che:

• ${\lim }_{x\to +\infty }$ $f(x)=\infty$
• ${\lim }_{x\to +\infty }$ $f^{\prime }(x)=m\in R$ allora si avrà ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{f^{\prime }(x)}{1}=m$ dove $m$ è il coefficiente angolare dell’eventuale asintoto obliquo

Ovviamente ci sono dei casi in cui questo teorema non va usato:

1. ${\lim }_{x\to 0}\frac{sinx}{x}$ il rapporto delle derivate tende ad 1 ma non è opportuno applicare questo teorema in quanto per calcolare la derivata di $\sin x$ era già necessario conoscere tale limite.

Quote

Se non vi ricordate il risultato di qualche limite notevole potete usare de l’hopital basta che non lo vedo io (by Ornella Naselli)

2. ${\lim }_{x\to \infty }\frac{2^x}{3^x}$. il limite vale zero, come si vede subito riscrivendo la funzione nella forma $(\frac{2}{3}{)}^x$. Il rapporto delle derivate non è di nessun aiuto in quanto vale $\frac{2^x}{3^x}\times \frac{\log 2}{\log 3}$. Precisiamo infine che in alcuni casi il limite di $\frac{f(x)}{g(x)}$ esiste anche se non esiste il limite di $\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ il teorema fornisce dunque una condizione sufficiente ma non necessaria. Consideriamo ad esempio, per $x\to 0$ la coppia di funzioni $f(x)=x^2\sin \frac{1}{x}g(x)=x$. Il loro rapporto è $x\sin \frac{1}{x}$ che tende a zero. Il rapporto delle derivate è $2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ che al tendere di $x$ a $0$ non è regolare.

EXAMPLE

Esercizi di esempio