Teoremi

Capitolo 1

Teorema Densità di Q e di R\Q in R: Siano $a,b$ due numeri reali con $a<b$. Allora, esistono infiniti numeri razionali $r$ e infiniti numeri irrazionali $s$ tali che $a<r<b$, $a<s<b$. Da questo teorema segue che tra $a$ e $b$ esistono infiniti numeri reali.

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Teorema inf e sup:

1. Sia $X$ un insieme limitato inferiormente, allora possiamo dire che $\underline{M_x}$ è dotato di massimo
2. Sia $X$ un insieme limitato superiormente, allora possiamo dire che $\overline{M_x}$ è dotato di minimo Quindi possiamo dire che:

• Estremo inferiore: che denotiamo con $infX$ è uguale al $max\underline{M_x}$, se $X$ non è limitato inferiormente si pone $infX=-\infty$. Dato un numero $l$ questo è l’estremo inferiore di $X$ se e solo se verifica queste proprietà:
  • $L\le x$ $\forall x\in X$
  • $\forall ϵ>0\exists x\in X:x<l-ϵ$
• Estremo superiore: che denotiamo con $supX$ è uguale al $min\underline{M_x}$, se $X$ non è limitato superiormente si pone $supX=+\infty$. Dato un numero $l$ questo è l’estremo superiore di $X$ se e solo se verifica queste proprietà:
  • $L\ge x$ $\forall x\in X$
  • $\forall ϵ>0\exists x\in X:x>l-ϵ$

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Teorema della radice n-ma aritmetica: Siano $a$ un numero reale positivo ed $n$ un numero naturale maggiore o uguale a 2. Allora esiste uno ed uno solo numero positivo $b$ tale che $b^n=a$, il numero $b$ è detto radice n-ma aritmetica di $a$ e si indica con $\sqrt[n]{a}$. Grazie a questo teorema se $a>0$ e $n\in N$ si definisce:

• $a^{\frac{1}{n}}$ = $\sqrt[n]{a}$
• $a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a}{)}^m$

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Teorema del rapporto incrementale: La funzione $f$ è crescente (o decrescente) nel punto $c$ se e solo se esiste un intorno $I_s(c)$ tale che, per ogni $x\in I_s(c)\backslash \{c\}$ si abbia $r(x)>0$ (o $r(x)<0$) Dimostrazione: Supponiamo che $r(x)>0$ in $I_s(c)c$. In $]c-s,c[$ il denominatore di r e negativo, quindi lo e anche il numeratore: dunque, $f(x)<f(c)$. In $]c,c+s[$ il denominatore di $r$ e positivo, quindi lo e anche il numeratore: dunque, $f(x)>f(c)$. Ne segue che $f$ e crescente nel punto $c$. Il viceversa si prova allo stesso modo.

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Capitolo 2

Teorema dell’unicità del limite: se una successione converge, il suo limite è unico Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che esistano 2 limiti: $a_n\to l$ e $a_n\to L$ con $l<L$. Scelto un $ϵ$ tale che $0<ϵ<\frac{L-l}{2}$, allora abbiamo la seguente disequazione: $a_n<l+ϵ<L-ϵ<a_n$ come possiamo notare abbiamo $a_n<a_n$ che è un assurdità.

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Teorema della permanenza del segno: Se $a_n\to l>0$ (o $l<0$) allora si ha definitivamente $a_n>0$ (o $a_n<0$) Teorema non in matematichese: questa cosa significa che se $l>0$ (o $l<0$) allora prima o poi nella successione anche $a_n$ sarà $>0$ (o $<0$) Dimostrazione: Supponiamo $l>0$. Scelto $ϵ$ tale che $0<ϵ<l$ allora definitivamente si ha $a_n>l-ϵ>0$ (il caso $l<0$ si prova in modo simile) Generalizzando possiamo dire che:

• preso un numero $h$ e $a_n\to l$ con $h<l$ allora definitivamente si ha che $a_n>h$
• preso un numero $k$ e $a_n\to l$ con $k>l$ allora definitivamente si ha che $a_n<k$

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Teorema di confronto per successioni convergenti: Se $a_n<b_n<c_n$ per ogni $n\in N$ e $a_n\to l$, $c_n\to l$ allora $b_n\to l$ Teorema non in matematichese: se le successioni $a_n$ e $c_n$ tendono ad $l$ e sappiamo che un terza successione $b_n$ è compresa tra $a_n$ e $c_n$ per ogni $n\in N$ allora anche queste tende a $l$ Dimostrazione: per la definizione di limite sappiamo che definitivamente si ha:

• $l-ϵ<a_n<l+ϵ$
• $l-ϵ<c_n<l+ϵ$ allora si ha sicuramente che: $l-ϵ<a_n<b_n<c_n<l+ϵ$

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Teorema di confronto per successioni divergenti: Se $a_n\le b_n$ per ogni $n\in N$ e $a_n\to +\infty$ allora $b_n\to +\infty$ oppure se $b_n\to -\infty$ allora $a_n\to -\infty$ Teorema non in matematichese: se la successione $a_n$ è sempre più piccola di $b_n$ allora se $a_n\to +\infty$ anche $b_n\to \infty$ (anche l’altro caso funziona allo stesso modo) Dimostrazione: Se $a_n\to +\infty$ allora definitivamente si ha $a_n>k$ ne segue che $b_n\ge a_n>k$ (l’altro caso si prova in modo analogo)

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Teorema di regolarità (o sul limite) delle successioni monotone:

• Una successione che verifica una delle condizioni $1)$ e $2)$ tende al suo estremo inferiore
• Una successione che verifica una delle condizioni $3)$ e $4)$ tende al proprio estremo superiore Dimostrazione Proviamo per semplicità solo il caso della divergenza:

1. Se $\inf a_n=-\infty$ fissato $k>0$ il numero $-k$ non è un minorante per la successione perché esiste sicuramente un numero nella successione più piccolo di $k$ ovvero $a_{\alpha }<-k$. Per $n>\alpha$ si ha $a_n\ge a_{\alpha }>k$ che è la tesi
2. Se $\sup a_n=+\infty$ fissato $k>0$ il numero $k$ non è un maggiorante per la successione perché esiste sicuramente un numero nella successione più grande di $k$ ovvero $a_{\alpha }>k$. Per $n>\alpha$ si ha $a_n>a_{\alpha }>k$ che è la tesi

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Teorema di regolarità delle successioni estratte: Se $\{a_n\}$ è regolare, ogni sua estratta ha il suo stesso limite, il viceversa non vale.

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Capitolo 3

Per la funzione regolare al tendere di x a c abbiamo questo i seguenti teoremi:

• Teorema dell’unicità del limite: Se una funzione è regolare al tendere di $x$ a $c$ il suo limite è unico
• Teorema della permanenza del segno:
  • Se ${\lim }_{x\to c}f(x)=l>0$ esiste un intorno di $c$ in cui si ha $f(x)>0$
  • Se ${\lim }_{x\to c}=l<0$ esiste un intorno di $c$ in cui si ha $f(x)<0$ generalizzando questo risultato, possiamo concludere che se $k>l(k<l)$ i valori della funzione saranno definitivamente minori (risp. maggiori) di $k$
• Teorema di confronto per funzioni convergenti: siano $f,g,h$ tre funzioni definite nello stesso insieme $X$ e sia $c\in D(x)$. Supponiamo che $f(x)\le g(x)\le h(x)$ per ogni $x\in X$ e che al tendere di $x$ a $c$ le due funzioni $f$ ed $h$ abbiano lo stesso limite $l$. Allora anche $g$ tende ad $l$
• Teorema di confronto per funzioni divergenti: siano $f,g$ due funzioni definite nello stesso insieme $X$ e sia $c\in D(x)$, supponiamo che $f(x)\le g(x)$ per ogni $x\in X$, allora:
  • se ${\lim }_{x\to c}f(x)=+\infty$ allora ${\lim }_{x\to c}g(x)=+\infty$
  • se ${\lim }_{x\to c}f(x)=+\infty$ allora ${\lim }_{x\to c}f(x)=-\infty$
• Teorema sul limite di una funzione composta: Siano date due funzioni $f:Y\to R,g:X\to Y$. Sia $c\in D(x)$ e si supponga che ${\lim }_{x\to c}g(x)=\gamma$ e che $\gamma \in D(y)$. Allora, se ${\lim }_{y\to \gamma }f(y)=l$ si ha posto $F(x)=f(g(x))$ che ${\lim }_{x\to c}F(x)=l$
  • Osservazione: Dal teorema 5 segue che, per una funzione composta, occorre prima esaminare il limite della funzione interna (ovvero $\gamma$) e il limite di $F$ sarà quello a cui tende la funzione esterna quando la “sua” variabile tende a $\gamma$
• Teorema ponte: sia data una funzione $f:X\to R$ e sia $c\in D(x)$. Si ha ${\lim }_{x\to c}f(x)=l$ (rispettivamente $+\infty ,-\infty$) se e solo se per ogni successione $\{x_n\}$ di elementi di $X$ convergente a $c$ si ha $f(x_n)\to l$

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Teorema delle funzioni monotone: Sia $f:(a,b)\to R$ una funzione strettamente crescente in $(a,b)$ allora possiamo dire che:

• per ogni $c\in ]a,b[$ esistono i limiti destro e sinistro di $f$ al tendere di $x$ a $c$ e si ha che $l^{-}={\lim }_{x\to c^{-}}f(x)={\sup }_{(a,c[}f(x)\le f(c)\le l^{+}={\lim }_{x\to c^{+}}f(x)={\inf }_{]c,b)}f(x)$
• esistono i limiti di $f$ al tendere di $x$ ad $a$ e a $b$ e si ha:
  • $l^{+}={\lim }_{x\to a}f(x)={\inf }_{]a,b)}f(x)$
  • $l^{-}={\lim }_{x\to b}f(x)={\inf }_{(a,b[}f(x)$

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Teorema di Weierstrass: Sia $f$ una funzione reale continua in un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$, allora $f$ ammette minimo e massimo assoluti

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Teorema: sia $f$ una funzione reale continua in un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ e si supponga $f(a)<0$ e $f(b)>0$ (o viceversa). Allora esiste $c\in [a,b]$ tale che $f(c)=0$ Teorema non in matematichese: la continuità di $f$ implica che la funzione non può “saltare” da negativo a positivo senza passare per lo zero. Vogliamo trovare il punto dove $f$ si annulla. Dimostrazione: posto $x_0=\frac{a+b}{2}$

• se $f(x_0)=0$ la tesi è dimostrata
• se $f(x_0)<0$ poniamo $[a_1,b_1]=[x_0,b]$ se $f(x_0)>0$ poniamo $[a_1,b_1]=[a,x_0]$ in entrambi i casi si ha che:
  • $f(a_1)<0$
  • $f(b_1)>0$
  • $a\le a_1<b_1\le b$
  • $b_1-a_1=\frac{b-a}{2}$ Procedo analogamente a partire dall’intervallo $[a_1,b_1]$ e reiterando lo stesso ragionamento, se per un certo $n$ si trova $f(x)=0$ la tesi è dimostrata, in caso contrario si determinano due successioni $\{a_n\}$ e $\{b_n\}$ tali che per ogni $n\in N$ si ha che
• $f(a_n)<0$
• $f(b_n)>0$
• $a\le a_1\le \cdots \le a_n<b_n\le b_{n-1}\le \cdots \le b$
• $b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}$ La successione $\{a_n\}$ è crescente e limitata superiormente (da b) quindi converge al proprio estremo superiore $c\le b$. inoltre possiamo dire che $b_n=b_n-a_n+a_n=\frac{b-a}{2^n}+a_n\to c$ Si ha allora per la continuità di $f$: $f(a_n)\to f(c)\text{ e }f(b_n)\to f(c)$Poiché:
• da $f(a_n)<0$ si ha $f(c)\le 0$
• da $f(b_n)>0$ segue $f(c)\ge 0$ quindi segue necessariamente che $f(c)=0$

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Teorema di esistenza dei valori intermedi (teorema di Darboux): Sia $f$ una funzione reale continua in un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ e si supponga che $f(a)\ne f(b)$ ad esempio $f(a)<f(b)$. Allora per ogni $\gamma \in ]f(a),f(b)[$ esiste $c\in [a,b]$ tale che $f(c)=\gamma$ Dimostrazione: Consideriamo in $[a,b]$ la funzione $g(x)=f(x)-\gamma$ che è continua e agli estremi dell’intervallo assume valori di segno diverso, quindi per il teorema di esistenza degli zeri, si annulla in un punto $c$: si ha dunque $f(c)-\gamma =0$ e quindi che $f(c)=\gamma$

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Teorema di continuità delle funzioni monotone: Sia $f:(a,b)\to R$ una funzione strettamente monotona e sia verificata la PVI allora $f$ è continua Dimostrazione: Supponiamo che $f$ sia crescente e proviamo la continuità in un punto $c$ interno ad $(a,b)$. Dal teorema sui limiti delle funzioni monotone segue che $l^{-}\le f(x)\le l^{+}$ per provare la continuità basta provare che $l^{-}=f(x)=l^{+}$. Supponiamo per assurdo che non sia vero, ad esempio si abbia $l^{-}<f(c)$. Sia $\gamma \in ]l^{-},f(c)[$ per la PVI esiste $\overline{x}\in (a,b)$ tale che $f(\overline{x})=\gamma$. L’assurdo segue dal fatto che $\overline{x}$ non può esistere, infatti:

• se $\overline{x}=c$ si avrebbe $\gamma =f(\overline{x})=f(c)$
• se $\overline{x}<c$ si avrebbe $\gamma =f(\overline{x})\le l^{-}$
• se $\overline{x}>c$ si avrebbe $\gamma =f(\overline{x})>f(c)$ L’assurdo è dunque trovato.

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Conseguenze di questi teoremi

1. Immagine di un intervallo mediante una funzione continua: Sia $f:[a,b]\to R$ una funzione continua, dal teorema di Darboux segue che la sua immagine è un intervallo, e dal teorema di Weierstrass segue che $f$ possiede minimo $m$ e massimo $M$ quindi la sua immagine è l’intervallo chiuso e limitato $[m,M]$
   1. Se $f$ è crescente la sua immagine è l’intervallo $[f(a),f(b)]$
   2. Se $f$ è decrescente la sua immagine è l’intervallo $[f(b),f(a)]$ In generale, se $f$ è una funzione continua in un intervallo generico $(a,b)$ la sua immagine è l’intervallo $({\inf }_{(a,b)}f(x),su{p}_{(a,b)}f(x)$
2. Continuità della funzione inversa: sia $f:[a,b]\to [f(a),f(b)]$ una funzione strettamente crescente e continua (può essere anche decrescente). Allora la sua inversa è continua.
3. Continuità delle funzioni elementari: tutte le funzioni elementari che abbiamo introdotto sono continue nei rispettivi insiemi di definizione. Sia infatti $c$ un punto dell’insieme di definizione di $f$. Se $c$ è contenuto in un intervallo in cui $f$ è monotona, la continuità in $c$ segue dal teorema di continuità delle funzioni monotone, in caso contrario il limite destro e sinistro coincidono

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Capitolo 4

Teorema: Se $f$ è derivabile in $c$ allora è continua Dimostrazione: Si ha $f(x)=f(x)-f(c)+f(c)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}(x-c)+f(c)$e questa quantità al tendere di $x$ a $c$ converge a $f^{\prime }(c)\cdot 0+f(c)=f(c)$. Il viceversa non vale, consideriamo i due seguenti esempi:

1. $f(x)=\sqrt{x},c=0.$ Il rapporto incrementale $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ diverge al tendere di $x$ a $0$
2. $f(x)=|x|,c=0$. Il rapporto incrementale $r(x)=\frac{|x|}{x}$ vale $1$ per $x>0$ e $-1$ per $x<0$ quindi tende ad $1$ al tendere di $x$ a $0$ da destra e a $-1$ al tendere di $x$ a $0$ da sinistra. Le funzioni presentate nei precedenti esempi sono continue nel punto $c=0$ ma non sono derivabili in tale punto. Il seguente risultato prova che una funzione è derivabile nel punto $c$ solo se è possibile approssimarla in un intorno di $c$, con un polinomio di primo grado.

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Teorema: $f$ è derivabile in $c$ se e solo se esiste un polinomio di primo grado $p$ tale che $p(c)=f(c)$ e che ${\lim }_{x\to c}\frac{f(x)-p(x)}{x-c}=0$
Osservazione: la condizione ${\lim }_{x\to c}\frac{f(x)-p(x)}{x-c}=0$ significa che la differenza $f(x)-p(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x-c$ quindi al tendere di $x$ a $c$ è trascurabile: dunque $f$si può approssimare con il polinomio $p$ Dimostrazione: Se $f$ è derivabile in $c$, basta porre: $p(x)=f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)$si ha infatti $\frac{f(x)-p(x)}{x-c}=\frac{f(x)-f(x)}{x-c}-f^{\prime }(c)\to 0$ Viceversa, se esiste il polinomio $p=f(c)+a(x-c)$ si ha $\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\frac{f(x)-p(x)+p(x)-f(c)}{x-c}=\frac{f(x)-p(x)}{x-c}+a\to 0+a\text{ quindi esiste }{f}^{\prime }(c)=a$

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Conseguenza della derivata: Ricordando il teorema sul rapporto incrementale scritto nel capitolo 1 che ci diceva che la funzione $f$ è crescente (o decrescente) nel punto $c$ se e solo se $r(x)>0$(o $r(x)<0$) in un intorno di $c$. Quindi usando le derivate possiamo affermare che se $f^{\prime }(c)>0$ (o $f^{\prime }(c)<0$) allora per il teorema della permanenza del segno si avrà $r(x)>0$(o $r(x)<0$) in un intorno di $c$.

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Teorema 1 (monotonia locale): Se $f^{\prime }(c)>0$ $(\text{ oppure }{f}^{\prime }(c)<0)$ allora $f$ è crescente (oppure decrescente) nel punto $c$, il viceversa non è vero.

• Ad esempio $f(x)=x^3$ è crescente nel punto $c=0$ ma $f^{\prime }(0)=0$.

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Teorema di Fermat: Data una funzione $f(a,b)\to R$ sia $c\in ]a,b[$ un punto di minimo o di massimo relativo per $f$. Si supponga che $f$ sia derivabile nel punto $c$ allora si ha $f(c{)}^{\prime }=0$ Dimostrazione: Dato che il $c$ è interno, la derivata è il limite del rapporto incrementale sia da sinistra che da destra. il numeratore del rapporto incrementale in un intorno di $c$ ha sempre lo stesso segno sia a destra che a sinistra, mentre il denominatore è negativo a sinistra di $c$ e positivo a destra, quindi possiamo dire che:

• $f^{\prime }(c)=f_{-}^{\prime }(c)={\lim }_{x\to c^{-}}r(x)\le 0$
• $f^{\prime }(c)=f_{+}^{\prime }(c)={\lim }_{x\to c^{+}}r(x)\ge 0$ quindi necessariamente $f^{\prime }(c)=0$. Il viceversa di questo teorema non vale infatti prendendo la funzione $f(x)=x^3$ si ha $f^{\prime }(0)=0$ ma il punto $c=0$ non è un estremo relativo, infatti $f$ è crescente in ogni punto di $R$. Quindi il fatto che $f^{\prime }(c)=0$ è una condizione necessaria, ma non sufficiente, per l’esistenza di un estremo relativo. Infine possiamo dire che i punti $c$ tale $f^{\prime }(c)=0$sono detti punti stazionari o critici per $f$.

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Teorema di Rolle: Sia $f$ una funzione reale continua nell’intervallo chiuso $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$ tale che $f(a)=f(b)$. Allora esiste $c\in ]a,b[$ tale che $f^{\prime }(c)=0$ Dimostrazione: Per il teorema di Weierstrass $f$ è dotata di minimo e massimo assoluti:

• $x_1$ punto di minimo assoluto
• $x_2$ punto di massimo assoluto Se $x_1=a$ e $x_2=b$ (o viceversa) allora il minimo e il massimo assoluti della funzione sono uguali quindi $f$ è costante e la sua derivata è ovunque nulla. In caso contrario uno dei due punti $x_1,x_2$ è interno, in esso allora la derivata è nulla per il teorema di Fermat

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Teorema di Lagrange: Sia $f$ una funzione reale continua nell’intervallo $[a,b]$ e derivabile $]a,b[$. Allora esiste $c\in ]a,b[$ tale che $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$ Dimostrazione: Consideriamo in $[a,b]$ la funzione $g(x)=(f(b)-f(a))x+(a-b)f(x)$Si vede facilmente che essa verifica le ipotesi del teorema di Rolle, quindi esiste $c\in ]a,b[$ tale $g^{\prime }(c)=0$. Dal fatto che $g^{\prime }(x)=f(b)-f(a)+(a-b)f^{\prime }(x)$ segue subito la tesi.

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Corollari del teorema di Lagrange

1. Teorema del prolungamento della derivata: Sia data una funzione $f:(a,b)\to R$ e sia $c\in (a,b)$. Supponiamo che $f$ sia derivabile in $(a,b)\backslash \{c\}$ e che sia continua in $c$. Supponiamo inoltre che esista il ${\lim }_{x\to c}{f}^{\prime }(x)$ e sia esso $l$ allora si ha ${\lim }_{x\to c}r(x)=l$
   • Osservazione: Dal teorema appena enunciato segue che le funzioni $\arcsin x$ e $\arccos x$ non sono derivabili in $-1$ e $1$, infatti sono continue ma le loro derivate divergono al tendere di $x$ a tali punti.
2. Criterio di monotonia: Sia data una funzione $f:(a,b)\to R$ derivabile, questa è un condizione sufficiente affinché $f$ sia crescente in $(a,b)$ è che $f^{\prime }(x)\ge 0\forall x\in (a,b)$
   • Dimostrazione: Siano $x,y\in (a,b)$ con $x<y$. Applicando il teorema di Lagrange ad $f$ nell’intervallo $[x,y]$ si ottiene che esiste $c\in ]x,y[$ tale che $f(y)-f(x)=(y-x)f^{\prime }(c)\ge 0$ da cui la tesi.
3. Criterio di stretta monotonia: Sia data una funzione $f:(a,b)\to R$ derivabile. Condizione necessaria e sufficiente affinché $f$ sia strettamente crescente in $(a,b)$ è che:
   • $f^{\prime }(x)\ge 0\forall x\in (a,b)$
   • e che non esista nessun intervallo $(c,d)\subseteq (a,b)$ tale che $f^{\prime }(x)=\forall x\in (c,d)$
4. Teorema sulle funzioni con derivata nulla: Sia data una funzione $f:(a,b)\to R$ derivabile, tale che $f^{\prime }(x)=0\forall x\in (a,b)$, allora $f$ è costante in $(a,b)$
   • Dimostrazione: Siano $x,y$ due punti generici di $(a,b)$ con $x<y$. Applicando il teorema di Lagrange ad $f$ nell’intervallo $[x,y]$ si ottiene l’esistenza di $c\in ]x,y[$ tale che $f(y)-f(x)=f^{\prime }(c)(y-x)$ quindi $f(x)=f(y)$ e date che $x$ e $y$ sono arbitrari, ne segue la tesi.
   • Osservazione: è importante che $f$ sia definita in un intervallo, infatti se ad esempio prendiamo la funzione definita in $[0,1]\cup [4,5]$ ponendo $f(x)=2$ in $[0,1]$ e $f(x)=6$ in $[4,5]$ ha derivata nulla in tutto il suo insieme di definizione ma non è costante.

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Teorema: sia $f$ una funzione derivabile in $(a,b)$ e sia $c\in (a,b)$ tale che esista $f^{\prime \prime }(c)>0$. Allora $f$ è convessa in $c$ (allo stesso modo si dice che se esiste $f^{\prime \prime }(c)<0$ allora $f$ è concava in $c$.) Dimostrazione: Dobbiamo provare che in un opportuno intorno di $c$ si ha $f(x)\ge f(c)+f^{\prime }(c)(x-c)$. Consideriamo allora in $(a,b)$ la funzione $F(x)=f(x)-f(c)-f^{\prime }(c)(x-c)$, la funzione che ci indica la distanza verticale tra $f(x)$ e la tangente in $c$ quindi ci basterà provare che $F(x)\ge 0$ (se questo valore è positivo la nostra funzione si trova sopra la tangente) in un intorno di $c$. Da questo capiamo che:

• Si ha $F(c)=f(c)-f(c)-f^{\prime }(c)(c-c)=0$
• $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(c)$ che è uguale a 0 nel punto $x=c$
  • la derivata di $f(c)$ è $0$ quindi non lo scrivo
  • la derivata di $f^{\prime }(c)(x-c)$ è $f^{\prime }(c)$
• e che esiste $F^{\prime \prime }(c)=f^{\prime \prime }(c)$. $F$ ha dunque in $c$ un minimo relativo (perché la derivata prima è 0 invece la seconda è positiva) dunque esiste un intorno di $c$ in tutti i punti del quale si ha $F(x)\ge F(c)=0$ come si voleva.

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Continuo del teorema: Ne segue che se esiste la derivata seconda in tutto l’intervallo $(a,b)$, gli eventuali punti di flesso vanno cercati fra i punti $c$ tali che $f^{\prime \prime }(c)=0$ e in tal caso si ha un flesso proprio se:

• $f^{\prime \prime }(x)<0$ in un intorno sinistro di $c$
• $f^{\prime \prime }(x)>0$ in un intorno destri di $c$

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Teorema di de l’hopital: Siano $f,g$ due funzioni reali derivabili in $(a,b)\backslash \{c\}$ tali che:

1. ${\lim }_{x\to c}f(x)={\lim }_{x\to c}g(x)=0$ oppure che ${\lim }_{x\to c}f(x)={\lim }_{x\to c}g(x)=\infty$
2. $g^{\prime }(x)\ne 0\forall x\in (a,b)\backslash \{c\}$
3. esiste il ${\lim }_{x\to c}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=l$ ($l\in R$ oppure $l=\pm \infty$) Allora, si ha:

• $g(x)\ne 0\forall x\in (a,b)\backslash \{c\}$
• ${\lim }_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=l$