F:A→R una funzione reale definita in A.
Si dice equazione differenziale di ordine n la funzione y(n)=F(x,y,y′,…,y(n−1))(3.1)il problema di determinare le funzioni y(x) che chiameremo soluzioni o integrali dell’equazione differenziale y:(a,b)→R,(a,b)⊆Rtali che:
y(x) è derivabile almeno n volte in (a,b)
(x,y(x),y′(x),…,y(n)(x)∈A) per ogni x∈(a,b)
per ogni x∈(a,b) si ha y(n)(x)=F(x,y(x),y′(x),…,y(n−1)(x))
Data l’equazione differenziale di ordine n e dato un punto di A di coordinate (x0,y0,y0′,…y0(n−1)) si chiama Problema di Cauchy relativo all’equazione 3.1 al punto x0 e ai valori iniziali y0,…,y0(n−1)⎩⎨⎧y(n)=F(x,y,y′,…,y(n−1))y(x0)=y0y′(x0)=y0′…y(n−1)(x0)=y0(n−1)
il problema di determinare una soluzione y della (3.1) tale che:
y(x0)=y0y′(x0)=y0′…y(n−1)(x0)=y0(n−1)
Ad esempio nel caso dell’equazione del primo ordine, il problema di Cauchy è quello di determinare una soluzione che in un punto dato assuma un valore determinato. Nel paragrafo successivo vedremo che sotto opportune ipotesi possiamo garantire l’esistenza, ed eventualmente l’unicità della soluzione per un problema di Cauchy
Equazioni lineari del primo ordine
Siano a,f due funzioni reali definite nell’intervallo (α,β). L’equazione del primo ordine: y′(x)+a(x)y(x)=f(x)(3.2)si dice lineare. Essa è il problema di determinare funzioni reali definite in un intervallo I⊆(α,β) derivabili e tali che si abbia: y′(x)+a(x)y(x)=f(x)∀x∈I
Si può provare che se le funzioni a e f sono continue in (α,β) l’equazione 3.2 ammette soluzioni definite in (α,β).
Da ricordare
D’ora in avanti assumeremo che a e f siano funzioni continue con tutto quello che ne consegue.
Chiameremo integrale generale l’insieme di tutte le soluzioni, ogni soluzione y potrà essere chiamata integrale particolare.
Se la funzione f è identicamente nulla (ovvero f(x)=0∀x∈R), l’equazione è detta omogenea.
L’equazione omogenea associata alla 3.2 è y′=−a(x)y
Risoluzione equazione omogena associata alla 3.2
Check
la funzione identicamente nulla in (α,β) è soluzione.!
Sia y una soluzione che non assume mai il valore 0.
Essendo una funzione continua essa ha sempre lo stesso segno. Si ha, per ogni x∈(α,β).
y′+a(x)y=0 che possiamo scrivere anche come y′=−a(x)y(3.3)y(x)y′(x)=−a(x)
notiamo subito che il primo membro di quest’eguaglianza è la derivata di log∣y(x)∣.
Indichiamo ora con A una primitiva della funzione a(x) (A è una qualsiasi funzione che derivata ci da a(x)) possiamo osservare che le funzioni log∣y(x)∣ e −A(x) hanno la stessa derivata quindi differiscono per una costante. Si ottiene: log∣y(x)∣=−A(x)+cda cui facilmente y(x)=ke−A(x)(3.4) con k∈R
Per k=0 si ottiene la funzione nulla che avevamo trovato prima
Per k>0 si ottengono soluzioni positive
Per k<0 soluzioni negative.
La 3.4 fornisce dunque tutte e sole le soluzioni dell’equazione omogenea.
Esaminiamo ora l’equazione completa. Applichiamo il metodo di Lagrange della variazione della costante, praticamente cerchiamo una soluzione del tipo: y(x)=k(x)e−A(x),x∈(α,β)cioè una funzione che abbia la stessa forma della 3.4 ma in cui al posto della costante k ci sia una funzione derivabile k(x).
Imponendo che:
y sia soluzione della 3.2
A′(x)=a(x)∀x∈(α,β)
si ottiene:
\underbrace{k'(x)e^{-A(x)}-A'(x)k(x)e^{-A(x)}}_{\text{Derivata di } \overline y(x)}
\quad + \
\underbrace{a(x)}_{\text{Termine noto}}
\underbrace{k(x)e^{-A(x)}}_{\overline y(x)}
= f(x)
$$da cui $$k'(x) = f(x)e^{(A(x))} \quad \forall x \in (\alpha, \beta)$$
quindi la funzione $k$ viene determinata in quanto primitiva della funzione $f(x)e^{A(x)}$. In questo modo abbiamo determinato un integrale particolare $\overline y$ della $3.2$. Di seguito i risultati che ci consentiranno di determinare tutte le soluzioni dell'equazione $3.2$.
##### Teorema 1
Dati:
- $y$ una soluzione dell'equazione $3.2$
- $z$ una soluzione dell'equazione $3.3$
allora la funzione somma $y+z$ è soluzione dell'equazione $3.2$
**Dimostrazione**: Basta osservare che posto $w = y+z$, $w$ è derivabile in $(\alpha, \beta)$ e si ha:$$w'(x)+a(x)w(x) = (y'(x)+a(x)y(x)) + (z'(x)+a(x)z(x)) = f(x) + 0 = 0$$
##### Teorema 2
Se $y$ e $z$ sono due soluzioni dell'equazione $3.2$ allora la funzione differenza $y-z$ è soluzione dell'equazione $3.3$
**Dimostrazione**: anche in questo caso posto $w = y-z$, la funzione $w$ è derivabile in $(\alpha, \beta)$ e si ha:$$w'(x)+a(x)w(x) = (y'(x)+a(x)y(x)) - (z'(x)+a(x)z(x)) = f(x) - f(x) = 0$$
###### Conseguenze
Da queste due proposizione segue che tutte e sole le soluzioni dell'equazione $3.2$ si ottengono sommando una soluzione della $3.2$ alle soluzioni della $3.3$; tenendo conto della $3.4$ possiamo concludere che l'integrale generale della $3.2$ è dato da $$y(x) = \overline y(x)+k e^{-A(x)}, k \in R$$
### Equazioni lineari di ordine n
Sia $n \in N$ e siano date $n+1$ funzioni reali continue nel medesimo intervallo $(\alpha, \beta)$ siano esse $a_1, a_2, \dots, a_n f$. L'equazione differenziale lineare di ordine $n$ che ha la forma: $$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}(x)y' + a_n(x)y = f(x) \quad (3.5)$$è il problema della ricerca di funzioni reali $y$ definite in $(\alpha, \beta)$ derivabili $n$ volte e tali che $$y^{(n)}(x) + a_1(x)y^{(n-1)}(x) + \dots + a_{n-1}(x)y'(x) + a_n(x)y(x) = f(x) \quad \forall x \in (\alpha, \beta)$$Come nel caso precedente:
- Chiameremo *integrale generale dell'equazione differenziale* l'insieme delle sue soluzioni
- Un soluzione viene anche chiamata *integrale particolare*
- le funzioni $a_i$ sono dette *coefficienti dell'equazione*
- funzione $f$ *termine noto*
- Se $f$ è identicamente nulla, l'equazione è detta *omogenea*
Di seguito l'omogenea associata alla $3.5$ avente i suoi stessi coefficienti e il termine noto nullo:
$$ y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}(x)y' + a_n(x)y = 0 \quad (3.6)$$
Nel paragrafo precedente abbiamo studiato il caso particolare $n=1$, i risultati ottenuti ci saranno utili per studiare il caso generale, si hanno intanto alcuni risultati preliminari:
##### Teorema 3 (teorema di esistenza e unicità)
Il problema di Cauchy associato all'equazione $3.5$ ammette una ed una sola soluzione definita in $(\alpha, \beta)$
##### Proposizioni
###### Proposizione 1
Se $y$ è una soluzione dell'equazione $3.5$ e $z$ soluzione della $3.6$ allora la funzione somma $y+z$ è soluzione dell'equazione $3.5$
###### Proposizione 2
Se $y$ e $z$ sono due soluzioni della $3.5$ allora la funzione differenza $y-z$ è soluzione dell'equazione $3.6$
###### Proposizione 3
Se $y$ e $z$ due soluzioni dell'equazione $3.6$ allora ogni loro combinazione lineare $hy(x)+kz(x) (h,k \in R)$ è soluzione della $3.6$
###### Proposizione 4 (principio di sovrapposizione)
dati:
- $y$ soluzione dell'equazione $y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)}+ \dots a_n(x) y = f(x)$
- $z$ soluzione dell'equazione $y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\dots a_n(x) y = g(x)$
- $c_1, c_2$ sono due numeri reali
allora la funzione $c_1y+c_2z$ è una soluzione dell'equazione $$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\dots a_n(x) y = c_1f(x)+c_2g(x)$$ Se il termine noto dell'equazione è una funzione a valori complessi nasce la proposizione di seguito
###### Proposizione 5
Supponiamo che il termine noto dell'equazione $3.5$ sia una funzione a valori complessi $f(x) = u(x)+iv(x)$. Allora la funzione complessa $y(x) = w(x)+iz(x)$ è soluzione dell'equazione $3.5$ se e solo se:
- $w$ soluzione di $y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}(x)y' + a_n(x)y = u(x)$
- $z$ soluzione di $y^{(n)} + a_1(x)y^{(n-1)} + \dots + a_{n-1}(x)y' + a_n(x)y = v(x)$
> [!WARNING] Osservazione 1
>
> Dalla proposizione 4, e dal fatto evidente che la funzione identicamente nulla è soluzione della $3.6$ considerato con le usuali operazioni di somma fra funzioni e di prodotti di funzioni per un numero, è uno spazio vettoriale.
###### Proposizione 6
ci proponiamo adesso di determinare l'integrale generale della $3.6$. A tale scopo siano $y_1, \dots y_n$ $n$soluzioni della $3.6$. Introduciamo il seguente determinante: $$W(x) = \begin{vmatrix}
y_1(x) & y_2(x) & \dots & y_n(x) \\
y'_1(x) & y'_2(x) & \dots & y'_n(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
y_1^{(n-1)}(x) & y_2^{(n-1)}(x) & \dots & y_n^{(n-1)}(x)
\end{vmatrix}$$
detto *wronskiano delle soluzioni*. Si verifica una e una sola delle seguenti affermazioni:
- a) $W(x)$ è identicamente nulla (il determinante è zero per ogni valore di $x$)
- b) $W(x) \not = 0$ per ogni $x \in (\alpha, \beta)$
**Linea dimostrativa**: Si prova che $W(x)$ è soluzione dell'equazione differenziale $y'+a_1(x)y = 0$ le cui soluzioni sono del tipo $y(x) = ke^{-A(x)}$ con $A$ primitiva di $a_1$, quindi sono identicamente nulle ($k = 0$) o sempre diverse di da zero.
*Per brevità lo proviamo solo nel caso n = 2.*
In tal caso si ha: $$
W(x) =
\begin{vmatrix}
y_1(x) & y_2(x) \\
y_1'(x) & y_2'(x)
\end{vmatrix}
= y_1(x)\,y_2'(x) - y_2(x)\,y_1'(x)
quindi tenendo conto del fatto che y1 e y2 sono soluzioni della 3.6:
W'(x) = y'_1(x)y'_2(x) + y_1(x)y''_2(x) - y'_1(x)y'_2(x) - y''_1(x)y_2(x) = $$$$ = y_1(x) \left( -a_1(x)y'_2(x) - a_2(x)y_2(x) \right) - y_2(x) \left( -a_1(x)y'_1(x) - a_2(x)y_1(x) \right) = $$$$ = a_1(x) \left( -y_1(x)y'_2(x) + y_2(x)y'_1(x) \right) ==−a1(x)W(x)
Quindi possiamo scrivere che: W′(x)=−a1W(x)→W′(x)+a1W(x)=0
visto che siamo riusciti a dimostrare che W′(x)+a1(x)W(x)=0 allora W(x) è soluzione di y′+a1(x)y=0
Definizione 1
le soluzioni y1,…yn sono dette indipendenti se si ha W(x)=0∀x∈(α,β)
Teorema 4
Un’equazione differenziale lineare di ordine n omogenea ha sempre n soluzioni indipendenti
Dimostrazione: Fissiamo ad arbitrio x0∈(α,β) e consideriamo n problemi di Cauchy, l’i-mo dei quali è (Pi)⎩⎨⎧y(n)+a1(x)y(n−1)+⋯+an(x)y=0y(i)(x0)=1y(j)(x0)=0,j=i
Per il teorema di esistenza e unicità, Pi ammette un’unica soluzione yi. Consideriamo le n soluzioni così ottenute, il loro wronskiano, calcolato in x0 è:
Esaminiamo ora l’equazione completa. Applichiamo il metodo di Lagrange della variazione della costante, praticamente cerchiamo una soluzione del tipo: cioè una funzione che abbia la stessa forma della ma in cui al posto della costante ci sia una funzione derivabile .
Imponendo che: